Aufgabenstellung:
Es soll folgende Summe berechnet werden:
$$1+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ { 2 }^{ 2 } } +...+\frac { 1 }{ { 2 }^{ 10 } } $$
Hierbei soll beachtet werden, dass für jede relle Zahl q ≠ 1:
$$ 1+q+{ q }^{ 2 }+...+{ q }^{ n }=\frac { { q }^{ n+1 }-1 }{ q-1 } $$
Mein Lösungsansatz: q = 2, n = 10
$$x=\frac { 1 }{ \frac { { q }^{ n+1 }-1 }{ q-1 } } = \frac { 1 }{ (\frac { { 2 }^{ 11 }-1 }{ 2-1 } ) } =\frac { 1 }{ 2047 } $$ Da ich meinte, folgendes Muster zu erkennen:
$$1+\frac { 1 }{ q } +\frac { 1 }{ { q }^{ 2 } } +...+\frac { 1 }{ { q }^{ 10 } } $$
Korrekte Lösung (Buch): q = 1/2, n = 10
$$x=\frac { { (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 11 }-1 }{ (\frac { 1 }{ 2 } )-1 } =\frac { 2047 }{ 1024 } $$
Frage:
Mir leuchtet ein, dass q=1/2 korrekt ist, da (1/2)^n = (1^n/2^n).
Was ich NICHT verstehe, ist, warum q=2 nicht korrekt ist. Meine Frage daher ist, gegen welche Rechenregeln ich in meinem Lösungsansatz verstoßen bzw. welche Denkfehler ich gemacht habe?