Berechnung einer Summe Σ (k=0bis10)(1/qk), mithilfe einer Formel

Question

Aufgabenstellung:

Es soll folgende Summe berechnet werden:

$$1+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ { 2 }^{ 2 } } +...+\frac { 1 }{ { 2 }^{ 10 } }$$

Hierbei soll beachtet werden, dass für jede relle Zahl q ≠ 1:

$$1+q+{ q }^{ 2 }+...+{ q }^{ n }=\frac { { q }^{ n+1 }-1 }{ q-1 }$$

Mein Lösungsansatz: q = 2, n = 10

$$x=\frac { 1 }{ \frac { { q }^{ n+1 }-1 }{ q-1 } } = \frac { 1 }{ (\frac { { 2 }^{ 11 }-1 }{ 2-1 } ) } =\frac { 1 }{ 2047 }$$ Da ich meinte, folgendes Muster zu erkennen:

$$1+\frac { 1 }{ q } +\frac { 1 }{ { q }^{ 2 } } +...+\frac { 1 }{ { q }^{ 10 } }$$

Korrekte Lösung (Buch): q = 1/2, n = 10

$$x=\frac { { (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 11 }-1 }{ (\frac { 1 }{ 2 } )-1 } =\frac { 2047 }{ 1024 }$$

Frage:

Mir leuchtet ein, dass q=1/2 korrekt ist, da (1/2)ⁿ = (1ⁿ/2ⁿ).

Was ich NICHT verstehe, ist, warum q=2 nicht korrekt ist. Meine Frage daher ist, gegen welche Rechenregeln ich in meinem Lösungsansatz verstoßen bzw. welche Denkfehler ich gemacht habe?

Comments

Ich habe mich so sehr auf die Anwendung der Formel fokussiert, dass ich völlig außer Acht gelassen habe, was sie eigentlich bedeutet. Nach Euren Antworten fiel es mir wie Schuppen von den Augen, was ich da eigentlich verzapft habe. Ich fasse zusammen:

$$\frac { 1 }{ \frac { 2^{ 11 }-1 }{ 2-1 } } \quad =\quad \frac { 1 }{ 1+2+{ 2 }^{ 2 }+...+{ 2 }^{ 10 } } \quad \neq \quad 1+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ { 2 }^{ 2 } } +...+\frac { 1 }{ { 2 }^{ 10 } } = \frac { (\frac { 1 }{ 2 } )^{ 11 }-1 }{ \frac { 1 }{ 2 } -1 }$$

Answer 1

Rechenregeln der Bruchrechnung beachten !!!

1/1 + 1/2 ist nicht gleich 1/3

Man darf also nicht fleißig die Nenner addieren und denken damit ist es getan.

Answer 2

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16...

Nun musst du feststellen, mit welchem Faktor q du von einem zum nächsten Summanden kommst.

Also 1 * q = 1/2 ?

oder 1/8 * q = 1/16  ....

Da kann q nicht grösser als 1 sein, sonst wäre ja 1/16 grösser als 1/8.

Nach allen Gesetzen der Bruchrechnens gilt

1/8 * (1/2) = (1*1)/(2*8) = 1/16.

Somit gilt q = 1/2.