Trägheitsmoment eines Zylinders

Question

Ich benötige Hilfe bei der Berechnung eines Trägheitsmomentes eines Zylinders.

In einer Probeklausur, sollten wir das Trägheitsmoment eines dünnen Stabes ausrechnen der sich um den Mittelpunkt und senkrecht zur Symmetrie Achse dreht.

Mithilfe von Integralen ist das alles kein Problem, jedoch hat uns unser Übungsleiter eine ganz andere Lösung vorgerechnet, die Ich nicht nachvollziehen kann.

Ich persönlich habe es wie hier gemacht:

Wenn der Stab also dünn ist, vernachlässigt man einfach R und erhält so den bekannten Trägheitsmoment. Soweit alles klar.

Vorgerechnet wurde es uns so:

\( I_{s}=\int \limits_{V} r^{2} \rho d V=\int \limits_{-R}^{R} r^{2} \frac{M}{2 * R * A_{q u e r}} * A_{q u e r} d r=\frac{M R^{3}}{3} \)

Er meinte, das habe irgendetwas zu tun mit einer sogenannten "Liniendichte". Aber darüber findet man nirgends etwas Brauchbares.

Kann mir jemand sagen, was nun richtig ist?

Comments

Gelegentlich helfen auch die englischen Definition bei WolframAlpha weiter.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=moment+of+inertia+&a=*C.moment+of+inertia-_*MathWorld-&a=*DC.PhysicalQuantity.moment+of+inertia-_*moment+of+inertia++%28physical+quantity%29.second+moment+of+area++%28physical+quantity%29-

---

Ja aber in wiefern soll das weiterhelfen?

Was ein Trägheitsmoment ist weis ich und das man das Integral aufspalten darf, steht ja schon bei MathePlanet.

Vielleicht steh ich auf den Schlauch, aber Ich versteh nicht was der "Knackpunkt" daran ist...

---

Ich verstehe deine Frage noch nicht. Matheplanet-Rechnungen leuchten mir auch ein.

Warum willst du das nun mit "Liniendichten" machen.

---

Liegt es vielleicht daran, dass die Drehung SENKRECHT zur Symmetrieachse erfolgen soll?

---

Ja ,das ist so... Aber der Stab ist ja sehr dünn, deswegen dürfte das Egal sein.

Der Übungsleiter an der Uni hat das so gemacht und kommt meiner meinung nach auf ein falsches Ergebnis.

Ich versteh nur nicht, wie er darauf gekommen ist....

da das Trägheitsmoment eines dünnenstabes doch 1/12ML² ist.

Er ist davon aber weit entfernt.

Nun wollte Ich einfach wissen, ob ich einen Denkfehler habe oder er sich verrechnet hat :D

---

Annahme, sein Integrand war noch i.O.

Dann steht zumindest am Schluss nicht R^3 sondern R^2.

---

Okay Ich denke er hat sich da verhaspelt, Ich geh mal davon aus, das die Herleitung über Gebietsintegrale die sauberste Form ist, und behalte das so bei.

Answer 1

So wie der das rechnet, müsste doch die Länge 2R sein.

Also L = 2R

--> R = L/2

==> I = M(L/2)^2 / 3 = ML^2 / 12

dV = A_(quer) * dr       Das sind Zylinderscheibchenvolumen. [Querschnitt * infinitesimale Höhe)

ρ = M / (L*A_(quer) )      Das ist die Masse pro Scheibchen. Diese Scheibchen sind in jeder Höhe gleich schwer.