Wie bestimme ich die Masse eines Zylinders bei inhomogener Dichteverteilung?

Question

es geht um folgende Aufgabe -

11 Ein zylindrischer Körper weist eine inhomogene Dichteverteilung auf. Die Dichte nehme mit steigender Höhe \( H \) linear ab und habe die Werte \( \rho_{\max } \) für \( z=0 \) sowie \( \rho_{\min } \) für \( z=H . \) Bestimmen Sie die Masse des Körpers.
Lösungshinweis: \( m=\iiint_v \rho \cdot d V \)

Da Dichte ja mit steigender Höhe LINEAR abnimmt, habe ich mir überlegt, ob ich das ganze nicht recht simpel lösen kann indem ich den Mittelwert der zwei "Dichten" einfach mit dem Volumen multiplizieren kann, um an das Gewicht zu kommen.

Nur bin ich mir bei diesem Vorgehen überhaupt nicht sicher. Kann mich jemand eines besseren belehren?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Masse eines Zylinders; inhomogene Masseverteilung

Stichworte: zylinder,masse,integral

es geht um folgende Aufgabe 

Da Dichte ja mit steigender Höhe LINEAR abnimmt, habe ich mir überlegt, ob ich das ganze nicht recht simpel lösen kann indem ich den Mittelwert der zwei "Dichten" einfach mit dem Volumen multiplizieren kann, um an das Gewicht zu kommen.

Nur bin ich mir bei diesem Vorgehen überhaupt nicht sicher. Kann mich jemand eines besseren belehren?

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Ermittle eine Formel für \(\rho(x,y,z)\). Dann berechne (wie die Aufgabe sagt) $$m=\int_V\rho(x,y,z)\,d(x,y,z).$$

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sehe ich auch so.
( rho max + roh min ) / 2 * Volumen

Answer 1

deine Vermutung ist richtig, wie man mit dem Volumenintegral auch leicht nachrechnen kann:

$$ m=\int\rho dV\\\rho(z)=\frac { ({ \rho }_{ min}-{ \rho }_{ max})z }{ H }+{ \rho }_{ max}\\\text{Zylinderkoordinaten: }\\m=\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{R}rdr\int_{0}^{H}[\frac { ({ \rho }_{ min}-{ \rho }_{ max})z }{ H }+{ \rho }_{ max}]dz\\=\pi R^2\int_{0}^{H}[\frac { ({ \rho }_{ min}-{ \rho }_{ max})z }{ H }+{ \rho }_{ max}]dz\\=\pi R^2[\frac { ({ \rho }_{ min}-{ \rho }_{ max})H }{ 2 }+{ \rho }_{ max}H]\\=\pi R^2H(\frac { { \rho }_{ min}+{ \rho }_{ max} }{ 2 }) $$