Endomorphismus mit U=Kern(f)

Question

Ich habe folgende Aufgabe und ich habe keine Ahnung wie ich das zeigen soll :/Sei K ein Körper und U c K^n ein Untervektorraum. Ich soll zeigen, dass es einen Endomorphismus f:K^n ---> K^n mit U=Ker(f) gibt.Wie mache ich das? :/

Answer 1

Es ist V = Kⁿ . Wenn U = {0} ist, ist nichts zu zeigen, denn z.B.  id_V : x ---> x ist ein Endo. mit Kern = U.
Anderenfalls besitzt U eine Basis u₁,...u_k , die sich zu einer Basis u₁,...u_nvon ganz V ergänzen lässt.
Und jedes v aus V besitzt eine Darstellung  a₁*u₁ + ... a_k*u_k + ....  a_n*u_n = v
Dann ist f : V ---> V ;  f(v) = 0 + a_k+1*u_k+1 + ....  a_n*u_n
( wie sich leicht zeigen lässt) ein Endomorphismus von V, der offenbar den Kern U hat.

Comments

ist bei einem endomorphismus der untervektorraum also immer der kern der abbildung?

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Der Kern, das sind alle Vektoren, deren Bild = 0 ist.

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warum ist dann U der Kern?

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Weil , wenn v aus dem Kern ist, bei den anderen Basisvektoren
(die nicht in U sind) dewr Faktor 0 ist.