Menge zeichnen h(x,y)>0. h(x,y): = ln(2-(x+1)^2 - (y-1)^2)

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion

\( h(x, y)=\ln \left(2-(x+1)^{2}-(y-1)^{2}\right) \)

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich \( D \) von \( h \) und skizzieren Sie diesen. Zeichnen Sie in Ihre Skizze überdies die Menge \( M_{+}=\{(x, y) \in D ; h(x, y)>0\} \) mit ein.

Ansatz/Problem:

Was ist denn hier die Menge ? Alle Werte von \( h(x,y) > 0 \)? Also das was \( h(x,y) > 0 \) annehmen kann?

Wenn ja wie zeichne ich das dann ein?

h(x,y) => Wertebereich ]-∞, ln(2)[

Answer 1

Hi,

auf dem Kreisrand ist das Argument = 0 und der \( ln \) ist dann nicht definiert. Also kann man die Darstellung entweder auf das Kreisinnere oder -äußere anwenden. Die Auswirkung siehst Du in den Grafiken.

Das habe ich mit Mathcad gezeichnet. Matlab geht auch.

Answer 2

Genau,du betrachtest alle Werte für x und y  für die h(x,y) größer als 0 ist.

Da ln(x) größer als 0 für alle x>1 ist musst du also bestimmen für welche x,y gilt :
2-(x+1)^2-(y-1)^2 >1

Also :
(x+1)^2+(y-1)^2<1

Sagt dir die Kreisgleichung etwas?

Reicht dir das?

Comments

Ich habe das:

Wie hilft mir das denn weiter?

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Gast: Nein. Rechnen kannst du hier nichts mehr. Wurzelziehen ist so, wie du das machst, falsch.

Du musst die Kreisgleichung erkennen und den Kreis zeichnen.

Answer 3

Ich wiederhole, was Marvin geschrieben hat:

h(x,y): = ln(2-(x+1)^2 - (y-1)^2)

Dich Interessiert

ln(2-(x+1)^2 - (y-1)^2) > 0           | e^ (was schon da steht) links und rechts

e^ ( ln(2-(x+1)^2 - (y-1)^2)  > 1           |logarithmengesetz  e^ (ln(a)) = a

(2-(x+1)^2 - (y-1)^2)   > 1         | -1 + (x+1)^2 + (y-1)^2

1 > (x+1)^2 + (y-1)^2

Kreisscheibe mit Mittelpunkt M(-1 | 1) und Radius 1 (ohne Rand) ist die gesuchte Menge, die du skizzieren sollst. Das kannst du nun selbst. Oder?

Sieht dann aus wie hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%282-%28x%2B1%29%5E2+-+%28y-1%29%5E2%29+%3E1

Bitte Fragen immer vollständig stellen und keine gekürzten Duplikate.

Comments

ln ist nur definiert für positive Argumente.

Daher (2-(x+1)^2 - (y-1)^2) >0

d.h. (2 > (x+1)^2 + (y-1)^2)

Graphisch sieht das so aus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%282-%28x%2B1%29%5E2+-+%28y-1%29%5E2%29+%3E0

Das hier ist übrigens der Definitionsbereich für h(x,y)

Es handelt sich um eine Kreisscheibe mit M(-1, 1) und r=√2 .

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In der Aufgabe stand ja, dass man den Definitionsbereich für h(x,y) zeichnen soll. Also ist das, dass selbe wie die Menge+ die man zeichnen soll? (nur über 0 halt).

Das hat mich etwas gewundert und ich dachte die gefragte Menge sei was anderes, da die Menge doch die Wertemenge von h(x,y) entspricht.

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Das sind 2 konzentrische Kreisscheiben.

D hat aber einen grösseren Radius als die Lösungsmenge der Ungleichung.

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Ja ein Radius von 1.

Noch eine Frage zur Darstellung.

Bei der  3D Zeichnung liegt der Kreis im Positiven Bereich. Bei deiner Zeichnung aber bei (-1|1), warum?

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Meine Zeichnungen zeigen nur den Boden, über / unter dem die Funktionswerte von h liegen.

Die h-Werte sind nur in ullims Darstellung als vertikale Anteile zu sehen.

Da in der Fragestellung Mengen von Punkten P(x|y) gesucht sind, gehört die vertikale Komponente nicht in die Darstellung der Mengen. Kreisscheiben genügen. Ohne Rand markierst du, indem du den Rand strichelst und für die Scheibe eine andere Farbe wählst.