Zahlenmenge t {z∈ℂ : |i-3z-1| =1} in der komplexen Zahlenebene zeichnen

Question

Aufgabe:

Die komplexe Menge lautet {z∈ℂ : |i-3z-1| =1}, welche in einem Koordinatensystem gezeichnet werden soll.

Mein Problem ist die -3 vor dem z. Für die Menge {z∈ℂ: |i-z-1| =1} ist der Mittelpunkt des Kreises mit dem Radius 1 der Punkt

M (1; -1).

Wie verändert nun die -3 das Bild der Menge im Koordinatensystem?

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

|i-3z-1|  = 1

|-3z+i-1|  = 1

|3z-i+1|  = 1

3 |z-(i-1)/3|  = 1

|z-(i-1)/3|  = 1/3

Comments

Also liegt der Mittelpunkt dann bei M (1/3; -1/3) und der Radius ist 1/3? Habe ich das richtig verstanden?

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Nein; schaue die Zahlen genau an.

(Dein obiger Mittelpunkt ist auch falsch.)

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(i-1)/3 = i/3 -1/3 = -1/3 + 1/3 * i 

Somit M(-1/3 | 1/3) .

Rechnung von mIgast einiges kürzer als die andere. Daher einfach nochmals genau hinschauen. Das ist immer noch schneller als ein langer Rechenweg.

Answer 2

Aloha :)

$$1=\left|i-3z-1\right|^2$$$$\phantom{1}=(i-3z-1)(i-3z^\ast-1)^\ast$$$$\phantom{1}=(i-3z-1)(-i-3z^\ast-1)$$$$\phantom{1}=-i^2+3iz+i-3iz^\ast+9zz^\ast+3z^\ast-i+3z+1$$$$\phantom{1}=2+3i(z-z^\ast)+9zz^\ast+3(z^\ast+z)$$Mit \(z=x+iy\) erhalten wir weiter:$$\phantom{1}=2+3i(x+iy-(x-iy))+9(x+iy)(x-iy)+3(x+iy+(x-iy))$$$$\phantom{1}=2+6i^2y+9(x^2+y^2)+6x$$$$\phantom{1}=9x^2+6x+9y^2-6y+2$$$$\phantom{1}=9\left(x^2+\frac{2}{3}x+\underbrace{\frac{1}{9}-\frac{1}{9}}_{=0}\right)+9\left(y^2-\frac{2}{3}y+\underbrace{\frac{1}{9}-\frac{1}{9}}_{=0}\right)+2$$$$\phantom{1}=9\left(\left(x+\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{9}\right)+9\left(\left(y-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{9}\right)+2$$$$\phantom{1}=9\left(x+\frac{1}{3}\right)^2-1+9\left(y-\frac{1}{3}\right)^2-1+2$$$$\phantom{1}=9\left(x+\frac{1}{3}\right)^2+9\left(y-\frac{1}{3}\right)^2$$Damit haben wir in der Gauß'schen Zahlenebene eine Kreisgleichung gefunden:$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^2+\left(y-\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}$$Die Menge beschreibt also einen Kreis mit Mittelpunkt \(M\left(-\frac{1}{3}\,|\,\frac{1}{3}\right)\) und Radius \(\frac{1}{3}\).