f(x):= e^{0,5*x} . Gesucht Kurvennormale, welche den Graphen von f auf der y-Achse trifft.

Question

Elementare Funktionsuntersuchungen

Gegeben ist die Funktion f(x) = e^{0,5*x} .

Gesucht ist die Gleichung derjenigen Kurvennormalen, welche den Graphen von f auf der y-Achse trifft. Wo schneidet die Normale die x-Achse?

Comments

Verstehst du die Aufgabe?

Eine Kurvennormale ist eine Gerade, die die Kurve senkrecht schneidet.

Du brauchst also erst mal die Steigung von f bei x=0. (Mach das mal)

Dann musst du wissen, wie gross nun die Steigung der Normalen sein muss....

Answer 1

Punkt des Graphen auf der y-Achse ist (0/1).

 Die Steigung ist dort f ' (o) und mit f ' (x) = 0,5e^0,5*x gibt das m=o,5.
Also hat die Normale die Steigung  -1 / m =  -2

Die Gerade durch (0/1) mit der Steigung 2 hat die
Gleichung  y= -2x + 1   (Normalengleichung)

Die schneidet die x-Achse für  0 = -2x + 1 
                                   gibt  x = 0,5
Also im Punkt (o,5 / 0 )

Answer 2

Hi,
Du musst die Steigung im Punkt \( x_0 = 0 \) von \( f(x) = e^{\frac{x}{2}} \) berechnen und dann dazu die senkrechte Richtung bestimmen.
Die Steigung ist \( f'(x_0) = \frac{1}{2}e^\frac{x_0}{2} \) und damit die wird die Steigungsgerade \( h(x) = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)  \) Eine senkrecht dazu stehende Gerade ist die Gerade \( g(x) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)+ f(x_0)  \)
Die Gerade \( g(x) = -\frac{1}{f'(0)}x+ f(0) \) schneidet die x-Achse in \( x_1 = \frac{1}{2} \)
Und das sieht so aus