Wie lautet der zugehörige Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion dritten Grades?

Question

Aufgabe:

Das Schaubild K einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch den Ursprung und durch A(2/1) Es hat an den Stellen x=1 und x=3 je eine waagrechte Tangente. Bestimmen Sie den zugehörigen Funktionsterm. Welche Bedeutung hat A?

Ansatz/Problem:

Ich hab aus den "Schlüsselwörtern" und der Ableitung Gleichungen gemacht, habe aber außer a0 keine Werte raus die mir was bringen ind er Form ax^{3} + bx^{2}+cx+d

Wie kann ich den Term aufstellen (schriftlich)? Kann mir jemand die Schritte zeigen? Und wie kann ich es eventuell mit dem GTR im Equa-Menü lösen?

Answer 1

Das Schaubild K einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch den Ursprung und durch A(2/1) Es hat an den Stellen x=1 und x=3 je eine waagrechte Tangente. Bestimmen Sie den zugehörigen Funktionsterm. Welche Bedeutung hat A?

Aus den letzten beiden Angaben folgt, dass \(A(2|1)\) der bei einer ganzrationalen Funktion dritten Grades immer vorhandene, einzige Wendepunkt sein muss. Ihr Graph ist immer zu diesem Punkt symmetrisch. Dies lässt sich hier so ausnutzen:

Wir gehen zunächst von der zum Ursprung symmetrischen Funktion \(y=a\cdot x^3+c\cdot x\) aus und verschieben diese in Richtung \(A(2|1)\). Die entstehende Funktion benutzen wir als Ansatz und leiten zunächst ab. Wir erhalten

\(y=a\cdot (x-2)^3+c\cdot (x-2) + 1\)

\(y'=3a\cdot (x-2)^2+c\)

Mit den Bedingungen \(y(0)=0\) und \(y'(3)=0\) bekommen wir durch Einsetzen die Gleichungen

\(0 = -8a -2c + 1\)

\(0 = 3a + c\)

Daraus folgt \(a=\frac 12\) und \(c=-\frac 32\) und als Funktionsgleichung

\(y=\frac 12\cdot (x-2)^3 -\frac 32\cdot (x-2) + 1.\)

Dieser Lösungsweg ist, wie ich finde, sehr übersichtlich und kurz, das Ergebnis sieht schön aus und ein Taschenrechner wird nicht benötigt. Zudem stehen alle eingesetzten Mittel (Symmetrien, Transformationen, Ableitungen) auf dem Lehrplan der Jahrgangsstufe 10 (G8, NRW).

Answer 2

ax³+bx²+cx    wird gesucht, da Ursprungsfunktion!    3ax²+2bx+c ist die Ableitungsfunktion!

I.   f(2)=1       8a+4b+2c=1

II.  f`(1)=0      3a+2b+c=0

III. f´(3)=0      27a+6b+c=0

Kannst du das Gleichungssystem selbst lösen?

LG

Comments

Okay, danke, das entspricht dann also auch den Gleichungen die ich gefunden habe. Ist es relevant dass in dem LGS als erstes f(x) und dann erste und zweite Ableitung stehen ? Oder ist die Reigenfolge egal?

Also wenn du grade noch die Zeit hast den Weg aufzuführen wär ich echt dankbar!:)
Wir haben das Lösen von LGS gar nicht besprochen. Wir haben das nur so gemacht wie ich (siehe Foto) gemacht habe und mit GTR aber ich würd gerne wissen wie es mit dem LGS funktioniert!

PS: Mit GtR (Equa) hab ichs auch noch nicht ganz verstanden, wie finde ich denn das a , b usw. das ich dort eingeben muss um die Gleichung aufzustellen? Außerdem heißt es ja =0 .

LG

---

Ich berechne das ganz einfach schriftlich, generell ;)

Hier die Lösung des LGS:

III.-II.

Daraus ergibt sich IV.:

IV. 24a+4b=0

Dann:

I.-2*III.

V. -46a-8b=1

V.+2*IV.

2a=1

a=0,5

Jetzt rückwärts wieder auflösen nach b und dann nach c! :)

LG

---

Ist es egal ob man von oben oder unten im LGS anfängt zu subtrahieren? Ich verstehs bis zu dem Punkt an dem man plötzlich das doppelte eines Terms abzieht. Wie kann man den Term einfach verdoppeln?
Und ist es denn jetzt auch mit drei Termen im LGS lösbar ? Weil der User der die Frage nach dir beantwortet hat argumentiert dass man genauso viele Terme brauche wie es Unbekannte gäbe.... LG

---

Die 4. Information d = 0 hat Simon

der Information entnommen, dass die Funktion durch den Ursprung geht:

f(0) = a * 0³ + b * 0² + c * 0 + d = 0

Also d = 0

Answer 3

Funktion 3. Grades allgemein:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Das Schaubild K einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch den Ursprung und durch A(2/1):

I. f(0) = d = 0

II. f(2) = 8a + 4b + 2c + d = 1

Es hat an den Stellen x=1 und x=3 je eine waagrechte Tangente:

III. f'(1) = 3a + 2b + c = 0

IV. f'(3) = 27a + 6b + c = 0

In den Taschenrechner eingeben:

4 Unbekannte und dann

I. 0|0|0|1|0

II. 8|4|2|1|1

III. 3|2|1|0|0

IV. 27|6|1|0|0

Die ersten vier Zahlen stehen jeweils für den Faktor vor a bzw. b bzw. c bzw. d, die 5. Zahl ist die rechte Seite der Gleichung.

Wenn Du einen Plot der erhaltenen Funktion erstellst, siehst Du auch, welche Bedeutung A hat :-D

Zur Kontrolle:

f(x) = 0,5x³ - 3x² + 4,5x

 

Besten Gruß

Comments

Hurra ich habe das mit dem Equa Menü jetzt geschafft glaub ich. Also man gibt dort einfach den Vorfaktor vor dem jeweiligen a (b,etc.) ein! (?) Ich dachte immer man muss schon was für a raushaben und  für die anderen Variablen (b,c,d) bevor man es eingeben kann...

Würde es aber schriftlich auch gerne können... Also auf die Art und weise LGS lösen geht es doch auch, ist es da auch egal welche der 5 Gleichungen man in das LGS packt?

Danke :D :D :D

---

Prima, dass Du es jetzt geschafft hast!

Wenn Du das LGS lösen schriftlich lösen willst, musst Du, weil es ja die 4 Unbekannten a, b, c und d gibt, auch die 4 von uns aufgestellten Gleichungen verwenden:

I. f(0) = d = 0

II. f(2) = 8a + 4b + 2c + d = 1

III. f'(1) = 3a + 2b + c = 0

IV. f'(3) = 27a + 6b + c = 0

Da aus I folgt d = 0, bleiben jetzt noch 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten:

I'. 8a + 4b + 2c = 1

II'. 3a + 2b + c = 0

III'. 27a + 6b + c = 0

I'. - 2 * II'.

2a = 1 | a = 0,5

III'. - I'. - II'.

16a - 2c = -1 | 8 - 2c = -1 | -2c = -9 | c = 9/2 = 4,5

Und das jetzt in zum Beispiel in I'. eingesetzt

8a + 4b + 2c = 4 + 4b + 9 = 1 | 4b = -12 | b = -3

Ich ziehe den Taschenrechner vor :-D

---

Ich kann verstehen warum du denn GTR vorziehst :) Ich wird beides üben. Ich hoffe es nervt nicht wenn ich noch ein paar Details nachfrage :

1. was hat es mit der Kennzeichnung ( ' ) auf sich ?

2.     I'. - 2 * II'. warum nimmt man II' doppelt? Macht man das immer bei diesem ersten Schritt? Und verläuft es immer von oben nach unten mit der Subtraktion?

3. III'. - I'. - II'.  also beim zweiten schritt ziehe ich beide ab?

Sorry, ich hatte ja schon erwähnt dass wir die Lösung per LGS in der Form noch nicht besprochen hatten...

---

Nachfragen stellt natürlich kein Problem dar :-)

1. was hat es mit der Kennzeichnung ( ' ) auf sich ?

Die habe ich nur verwendet, damit keine Verwirrung bzw. Verwechslung mit den Ursprungsgleichungen aufkommt, wenn ich weiter unten z.B. Rechenschritte wie

I'. - 2 * II' angebe; denn die Ursprungsgleichungen, die wir aufgestellt hatten, waren ja mit I bis IV gekennzeichnet.

Ich hätte sie genausogut mit zum Beispiel V, VI und VII kennzeichnen können.

2.     I'. - 2 * II'. warum nimmt man II' doppelt? Macht man das immer bei diesem ersten Schritt? Und verläuft es immer von oben nach unten mit der Subtraktion?

Das habe ich so gerechnet, weil ich sah, dass in I' 4b + 2c stand und in II' 2b + c.

Durch diese Subtraktion verschwanden dann sowohl die b als auch die c, so dass nur noch a übrig blieb und wir es sofort berechnen konnten. Man sollte also immer versuchen, irgendwelche Variablen halbwegs geschickt "verschwinden" zu lassen.

3. III'. - I'. - II'.  also beim zweiten schritt ziehe ich beide ab? 

Nicht immer. Nur hier bot es sich an, da durch diesen Schritt das b verschwand; a hatte ich ja schon berechnet, so dass ich jetzt schnell den Wert von c bestimmen konnte.

Und schließlich die Werte von a und c in I' eingesetzt liefert auch schnell das noch fehlende b.

Recht gut ist dieses "Gauß-Verfahren" hier erklärt:

https://www.matheretter.de/wiki/lineare-gleichungssysteme

Viel Spaß :-D

Answer 4

Also diese Frage bringt mich wieder mal zur Geltung. Hättet ihr es nur gelernt

" Alle kubischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "

Diktat für das Regelheft:

" Jedes kubistische Polynom verläuft Punktz symmetrisch gegen seinen WP. "

Lehrer und Internet verschweigen euch das systematisch; mal sehen, wann sich das herum spricht. 

Wenn da also steht

x ( max ) = 1 ; x ( min ) = 3   ( 1 )

dann ist von der Spiegelsymmetrie wohl logisch, dass

x ( w ) = 2   ( 2 )

aber diese Info benötigen wir doch gar nicht. Die Nullstellen der ersten Ableitung hast du eh.

f ' ( x ) = k ( x - 1 ) ( x - 3 )     ( 3a )

= k ( x ² - 4 x + 3 )   ( 3b )

Was du jetzt tun musst, bezeichnen die Kollegen vom Internetportal " Lycos " als " Aufleiten " ===> Stammfunktion ===> Integral

f ( x ) = k ( 1/3 x ³ - 2 x ² + 3 x ) + C   ( 3b )

Die ===> Integrationskonstante C verschwindet bei uns allerdings ( warum? ) Und welche Bedingung liefert mir den ===> Leitkoeffizienten k ?