Question

Für welchen Wert von n ist der Wurzelwert bei diesem Term rational?

$$ \sqrt { \frac { n }{ n+15 }  } $$

Also ist zum Thema "Quadrate und Wurzeln" der 1. Gymnasiumsstufe und sollte, glaube ich, mit einer Gleichung gelöst werden.

Answer 1

Mehr eine Überlegung als eine Antwort:

 

Damit der Ausdruck rational ist, muss sowohl Zähler als auch Nenner eine Quadratzahl sein. Demnach ist zu untersuchen für welches n, der Nenner eine Quadratzahl ergibt, wobei n sogleich ebenfalls eine Quadratzahl sein muss, damit auch der Zähler eine Quadratzahl ergibt.

 

Untersucht werden muss dabei nur bis p=n²=7², denn 7²+15=64=8²

Ab nun wird der Abstand größer 15; zwischen zwei Quadratzahlen; und Zähler und Nenner können nicht mehr gleichzeitig eine Quadratzahl sein (?).

(Beispiel: Nenner: 7²+15=49+15=64=8². Zähler also 7²

Differenz: 8²-7²=(1+7)²-7²=1+14+7²-7²=15. Die Differenz ist hier also genau 15 und für alle folgenden aufeinanderfolgenden Quadratzahlen erhöht sich die Differenz (um 2).)

 

Probiert man die Zahlen p=1 bis p=7 (also n=1 bis n=7²) aus, ergeben sich genau zwei Lösungen:

 

Der obige Ausdruck ist für p=1 und p=7 rational.

p=1: Ausdruck -> 1/4

p=7: Ausdruck -> 7/8

 

 

Bei der mit ? versehene Argumentation bin ich nicht ganz sicher, ob sie wahr ist *hust*. Ist sie korrekt, sollte meine Anregung passen. Ansonsten muss man sie wohl über den Haufen werden :/.

 

Ich hoffe ich konnte zumindest etwas sinnvolles beisteuern ;),

Grüße

Comments

n = 5  liefert  1/2  ist aber keine Quadratzahl.

---

Ah danke, ich hatte nicht berücksichtig, dass die auch untereinander wechselwirken und habe nur Zähler und Nenner getrennt betrachtet ;(.

 

Damit stürzt alles zusammen *grummel*.

Answer 2

Für den Wert n = 1 ergibt sich eine rationale Zahl:

√( n / (n+15) )

mit n = 1 ergibt sich:

√( 1 / (1+15) )= √( 1 / 16 ) = √1 / √16 = 1 / 4