Wurzelterme Nenner rational machen

Question

Mache den Nenner rational:

\(\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}}{\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}}= \sqrt{5} ? \)

Ansatz/Problem:

Wer im Forum kann meine Skepsis hinsichtlich des o.g. Ergebnisses auflösen. Meine mehrmaligen Versuche die Aufgabe zu lösen ergeben Wurzel 5 dividiert durch 3, wo ist mein Rechenfehler ?

Answer 1

$$\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}}{\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}}=$$$$\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}}{\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}}*\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}}{\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}}=$$$$\frac{3+\sqrt{5}+2*\sqrt{3+\sqrt{5}}*\sqrt{3-\sqrt{5}}+3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}-3+\sqrt{5}}=$$$$\frac{6+2*\sqrt{9-5}}{2\sqrt{5}}=\frac{3+\sqrt{4}}{\sqrt{5}}=$$$$\frac{3+2}{\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$$

Answer 2

\(\begin{aligned} & \frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}}{\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}} &  & \text{Erweitern}\\ =\, & \frac{\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)}{\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)} &  & \text{binomische Fromeln}\\ =\, & \frac{\left(3+\sqrt{5}\right)-\left(3-\sqrt{5}\right)}{\left(3+\sqrt{5}\right)-2\sqrt{3+\sqrt{5}}\sqrt{3-\sqrt{5}}+\left(3-\sqrt{5}\right)} &  & \text{Wurzelgesetze}\\ =\, & \frac{\left(3+\sqrt{5}\right)-\left(3-\sqrt{5}\right)}{\left(3+\sqrt{5}\right)-2\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}+\left(3-\sqrt{5}\right)} &  & \text{binomische Formeln}\\ =\, & \frac{\left(3+\sqrt{5}\right)-\left(3-\sqrt{5}\right)}{\left(3+\sqrt{5}\right)-2\sqrt{9-5}+\left(3-\sqrt{5}\right)} &  & \text{Wurzel ausrechnen}\\ & \frac{\left(3+\sqrt{5}\right)-\left(3-\sqrt{5}\right)}{\left(3+\sqrt{5}\right)-2\cdot2+\left(3-\sqrt{5}\right)} &  & \text{Klammern auflösen}\\ =\, & \frac{3+\sqrt{5}-3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}-2\cdot2+3-\sqrt{5}} &  & \text{Ausrechnen}\\ =\, & \sqrt{5} \end{aligned}\)

Answer 3

Nach Erweitern mit \( \sqrt{3+\sqrt{5}} \)+\( \sqrt{3-\sqrt{5}} \) erhält man \( \frac{10}{2\sqrt{5}} \)=\( \sqrt{5} \)