2x+xy+x/y=2187 x muss größer als y sein

Question

Hi ich komm bei einer Matheaufgabe nicht weiter.

 x+y+x-y+xy+x/y=2187 bzw. zusammengefasst 2x+xy+x/y dabei muss die Zahl x größer sein als y.

Es gibt mehrere Lösungspaare für x+y

Kann mir jemand bittt beim Rechenweg und bei der Lösung helfen wären echt nett:)

Ich bitte um möglichst schnelle Antwort.

MfG Luisa das Mathegenie ;D

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Dazu Hilf auch die Gleichung

x=(3⁷/(y+1)²)*y


Wenn das jemand beim rechnen Hilft37(y+1)2⋅y.37(y+1)2⋅y.37(y+1)2⋅y.37(y+1)2⋅y.37(y+1)2⋅y.x=37(y+1)2⋅y. vvvvx=37(y+1)2⋅y.x=37(y+1)2⋅y.

x=37(y+1)2⋅y.x=37(y+1)2⋅y.

x=37(y+1)2⋅y.x=37(y+1)2⋅y.

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Die Aufgabe wurde schon gelöst und als beste ausgewählt, wo liegt das Problem ? ;)

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Ich brach einen richtigen Rechenweg den mein Lehrer auch nachverfolgen kann...

Answer 1

 x+y+x-y+xy+x/y=2187 bzw. zusammengefasst 2x+xy+x/y = 2187
dabei muss die Zahl x größer sein als y.

2x+xy+x/y = 2187
x*(2+y+1/y) = 2187

Sollen denn x und y ganze Zahlen sein, oder dürfen die auch ein Komma haben ?
Ich nehme mal an:  ganze Zahlen.
Dann muss also x ein Teiler von 2187 sein.
2187= 3*729 = 3*3*243=3*3*3*81 etc also  2187=3^7 
Dann gibt es ja nicht viele Möglichkeiten, denn die Teiler von 3^7 sind
1;3;3^2; 3^3 ; ....  ; 3^7
Die muss du dann mal durchgehen:
x=1 geht schon mal nicht, da x>y sein soll.
x=3 dann wäre    2+y+1/y = 729  gibt keine ganzzahligen Werte für y
x=9 dann wäre    2+y+1/y = 243 klappt auch nicht
x=27 dann wäre 2+y+1/y = 81 klappt auch nicht
x=81 dann wäre 2+y+1/y = 27 klappt auch nicht
x=243 dann wäre 2+y+1/y = 9  klappt auch nicht
x=729 dann  2+y+1/y = 3  hat auch keine Lösung
x=2187 dann 2+y+1/y = 1
und wenn du die entsprechenden negativen Werte nimmst,
gibt es auch keine ganzzahligen Lösungen.
Also mit ganzen Zahlen klappt es nicht.
Mit reellen Zahlen gibt es allerdings viele Lösungen,

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x muss kein Teiler von 2187 sein. y + 1 muss eine Potenz von 3 sein, z..B. x = 78, y = 26.

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Oh ja, das hatte ich übersehen.

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und es soll als Ergebnis eine Natürliche Zahl rauskommen. Sorry hab ich vergessen zu sagen. Das grenzt den Zahlenraum um einiges mehr ein.

Gruß Luisa

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und alle möglichen Lösungen hab ich schon und zwar:

x:78     y:26

x:216   y:8

x:486   y:2

Ich brauch nurnoch einen logischen mathematisch korrekten Rechenweg...

Ein paar fallen natürlich weg weil y<x und da es nur natürliche zahlen sein dürfen

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Mathef kannst du bitte nochmal mit den unten genannten neuen Bedingungen rechnen.

Wäre echt richtig cool.

Gruß Luisa

Answer 2

forme die Gleichung um:$$x=\frac{3^7}{(y+1)^2}\cdot y.$$Setze \(y=3^k-1\). Man findet ganzzahlige Lösungen für \(k\in\{1,2,3\}\).

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Wie meinst du das?

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was ist dieses 3^k?

Dass die Gleichung funktioniert hab ich schon verstanden, aber was meinst du mit diesem y=3^k-1?

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\((y+1)^2\) muss ein Teiler von \(2187=3^7\) sein, also muss \(y=-1\pm3^k\) mit geeignetem \(k\in\mathbb N\) sein.

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Ok danke für deine ausführliche Erklärung und deine Geduld ich hab nurnoch ein kleines Problem denn in der Aufgabe steht, dass die Lösungwege müssen mathematisch begründet werden müssen und das nachmessen, nachrechnen oder einsetzen bei eigenen Beispielen als Lösung nicht genügt.

Kennst du dich mit sowas aus? Ist das mathematisch Begründet oder ist das einfach nur willkürliches Einsetzten? Es ist wirklich wichtig.

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Da insbesondere \((y+1)^2\le2187\) gelten muss, kann man sich auf \(0\le k\le3\) beschränken. Es bleiben sieben potenzielle Möglichkeiten, die man separat nachrechnet um die drei bereits bekannten Lösungen zu erhalten.

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Danke du bist der Beste! Mathe LK ist doch nicht so leicht wie gedacht:D du hast mir wortwörtlich den A**** geretten, ich kann mich nur bei dir bedanken:*

MfG Luisa

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Mathe LK oder Mathewettbewerb 2.Runde RLP

Answer 3

Hi Luisa alles was die da oben geschrieben haben ist völliger schwachsinn.

Im Mathe LK solltest du diese aufgabe aber selber lösen können ;)

gruß Georg

Comments

Ja das hab ich jetzt im nachhinein auch gemerkt als mein Lehrer die Arbeit kontrolliert hat...:/

Aber trotztdem nachmal danke für den Hinweis Georg!

Der eigentliche Lösungsweg ist mit Quadratischen Gleichungen der pq Formel und der Mitternachtsfromel(ABC Formel)

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Genau so ist es:)

Wenn man sich mit Quadratischen folmeln auskennt ist es gar nicht so schwer.

Frag bei der nächsten Arbeit einfach deine freunde und frag nicht hier nach volallem nicht wenn du Mathe LK hast