Exponentialfunktion. Kurvendiskussion von f(x) = (x^2+1) • e^{-x}

Question

Ich weiß bei dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter: 
(x^2+1) • e^-x  Ich soll davon einer Kurvendiskussion machen, 

nur leider weiß ich nicht mal die erste Ableitung genau. 
Mein Vorschlag wäre: 2x • e^-x + (x^2 + 1) • (-e^-x)  
Das habe ich mit der Ketten- und produktregel gemacht

Answer 1

Funktion hat keine Nullstellen !

1.Abl.   →   2xe^-x-(x^2+1)e^-x

Wendepunkt -----> (1; 0,73 )  !!

Brauchst du die 2./3. Abl. ?

Comments

Ist Die Ableitung von e^-x nicht -e^-x ?! Oder wie genau hast du das gemacht? :(

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Ich habe noch mal gerechnet ! 1.Abl. stimmt .

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Keine 2. und 3. Ableitungen wären auch noch gut :)

Warum steht hinter dem 2xe^-x ein Minus? Man rechnet ja mit der Produktregel und die ist ja eigentlich mit + "in der Mitte" ?

Answer 2

.

 f(x) = (x²+1) •  e^{-x}

 f ' (x) =  - (x-1)^2  * e^{-x}

 f ' ' (x) = (x-1)*(x-3)* e^{-x}

also: ->

deine lustige expo-entialfunktion  hat ->

-> keine Nullstellen

-> KEINE Extrema

-> einen Sattelpunkt bei x= 1

-> einen Wendepunkt bei x=3

-> die x-Achse als Asymptote

..

ok?

Comments

EVielen dank :) könntest du mir nochmal den genauen Weg erklären wie du zu der 1. Ableitung gelangt bist?

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"..den genauen Weg erklären wie du zu der 1. Ableitung.."

aber doch genau gleich wie du es gemacht hast (Produktregel usw)

->

f(x) = (x²+1) •  e^-x

f ' (x) =  2 x * e^{-x} - (x^2 +1)* e^{-x}

^jetzt 
 - e^{-x} ausklammern ->

f ' (x) = - [ - 2 x + x^2 +1 ]* e^{-x} 

f ' (x) = - [  x^2  - 2x +1 ]* e^{-x}

Binomformel  ->

f ' (x) = - ( x - 1 ) ^2  * e^{-x}

fertig

alles klar ?

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Jetzt wird mir so einiges klarer eine kleine Frage noch. Warum -e^-x ausklammern, da ist doch eigentlich nur e^-x, also wo kommt das minus vor dem e her?

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wo kommt das minus vor dem e her?  -> ursprünglich wegen der Kettenregel

und warum  - e^{-x} ausklammern? -> damit nachher in der Klammer die

bekannte Binomformel bleibt

aber egal, du kannst auch nur  e^{-x} ausklammern, dann bleibt in der

Klammer halt ->  2 x - x² - 1 .... oder eben ->  - x² + 2x - 1

und spätestens jetzt wirst du da noch ein ( - 1 ) ausklammern

-> (-1) *( x²  - 2x +1 )

usw

zufrieden?

.

Answer 3

f ' (x) =  2x • e^{-x} + (x² + 1) • (-e^{-x}) 

= -e^{-x} ( -2x + x^2 + 1) 

= -e^{-x} (x-1)^2

f ''(x) = e^{-x} (x-1)^2 - e^{-x} 2(x-1)

= e^{-x} ( (x-1)^2 - 2(x-1))

= e^{-x} ((x-1)(x-1) - 2(x-1))

= e^{-x} ((x-1-2)(x-1))

= e^{-x} ((x-3)(x-1))

Sehe gerade, dass diese Resultate schon vorhanden sind.

Fortsetzung vgl. bh884