Partialbruchzerlegung bei dreifacher Nullstelle

Question

$$\int \frac {x^2-5x+8}{(x+3)\cdot (x-1)^3}dx$$

Dies soll mit Partialbruchzerlegung integriert werden. Ich erhalte als Form:

$$\frac {A}{(x-1)^3}+\frac {B}{(x-1)^2}+\frac {C}{(x-1)}+\frac {D}{(x+3)}$$

Wenn ich nun den Hauptnenner bilde, dann die einzelnen Konstanten mit den Linearfaktoren verrechne und dann etwas "sortiere", habe ich das Problem, dass ich ja x-Variablen mit Exponent 3 erhalte. Im Zähler gibt es aber nur quadratische Potenzen maximal. Wie soll ich jetzt folglich wissen, welcher Ausdruck welcher Konstanten zugehörig ist?

Answer 1

Denke Dir \(0\cdot x^3\) irgendwo hin.

Comments

danke für den Tipp. Leider erhalte ich nach langem Rechnen für die Konstanten Brüche:

$$\frac {-\frac {215}{17}}{(x-1)^3}+\frac {\frac {81}{17}}{(x-1)^2}+ \frac {-\frac {16}{17}}{(x-1)}+\frac {\frac {16}{17}}{(x+3)}$$

Und wenn ich nun den ersten Summanden integriere, s erhalte ich überhaupt nichts in der Art der ML.

---

Hm... etwas Kopfrechnen sagt mir \(A=1\)...

---

Du schaffst das mit Kopfrechnen? D:

---

Ja, Du sicher auch, denn nach dem Multiplizieren mit dem Hauptnenner hast Du \(A\cdot(x+3)+\dots\) und mit \(x=1\) ergibt sich \(4=4A\) und alles andere fällt weg. Also folgt \(A=1\).

Weiß man das, könnte man noch weiter im Kopf rechnen, indem man zunächst \( \frac {1\cdot(x+3)}{(x+3)\cdot (x-1)^3} \) vom Integranden subtrahiert. Danach kann man zufälligerweise kürzen und erhält so einen einfacheren Restintegranden.

---

Darf ich fragen, aus welchem Grund Du bitte für x 1 einsetzt?

---

Weil dann die anderen drei Summanden alle wegfallen.