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x25x+8(x+3)(x1)3dx\int \frac {x^2-5x+8}{(x+3)\cdot (x-1)^3}dx

Dies soll mit Partialbruchzerlegung integriert werden. Ich erhalte als Form:

A(x1)3+B(x1)2+C(x1)+D(x+3)\frac {A}{(x-1)^3}+\frac {B}{(x-1)^2}+\frac {C}{(x-1)}+\frac {D}{(x+3)}

Wenn ich nun den Hauptnenner bilde, dann die einzelnen Konstanten mit den Linearfaktoren verrechne und dann etwas "sortiere", habe ich das Problem, dass ich ja x-Variablen mit Exponent 3 erhalte. Im Zähler gibt es aber nur quadratische Potenzen maximal. Wie soll ich jetzt folglich wissen, welcher Ausdruck welcher Konstanten zugehörig ist?

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Denke Dir 0x30\cdot x^3 irgendwo hin.
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danke für den Tipp. Leider erhalte ich nach langem Rechnen für die Konstanten Brüche:

21517(x1)3+8117(x1)2+1617(x1)+1617(x+3)\frac {-\frac {215}{17}}{(x-1)^3}+\frac {\frac {81}{17}}{(x-1)^2}+ \frac {-\frac {16}{17}}{(x-1)}+\frac {\frac {16}{17}}{(x+3)}

Und wenn ich nun den ersten Summanden integriere, s erhalte ich überhaupt nichts in der Art der ML.

Hm... etwas Kopfrechnen sagt mir A=1A=1...

Du schaffst das mit Kopfrechnen? D:

Ja, Du sicher auch, denn nach dem Multiplizieren mit dem Hauptnenner hast Du A(x+3)+A\cdot(x+3)+\dots und mit x=1x=1 ergibt sich 4=4A4=4A und alles andere fällt weg. Also folgt A=1A=1.

Weiß man das, könnte man noch weiter im Kopf rechnen, indem man zunächst 1(x+3)(x+3)(x1)3 \frac {1\cdot(x+3)}{(x+3)\cdot (x-1)^3} vom Integranden subtrahiert. Danach kann man zufälligerweise kürzen und erhält so einen einfacheren Restintegranden.

Darf ich fragen, aus welchem Grund Du bitte für x 1 einsetzt?

Weil dann die anderen drei Summanden alle wegfallen.

Ein anderes Problem?

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