f(x) = 3x^2
1. Skizziere die Funktion und stelle fest, dass du die rechten Funtionswerte als Höhen Streifenrechtecke brauchst.
Nimm n gleichbreite Säulen und lasse dann n gegen unendlich gehen.
Säulen: Breite immer 4/n
Höhe:
h1 = 3*(4/n)^2
h2 = 3*(2*(4/n))^2
....
hn = 3*(n* (4/n))^2
O_(n)= | ich klammere schon mal die Breite aus
= (4/n) * (3*(4/n)^2 +3*(2*(4/n))^2+ ... + 3*(n* (4/n))^2 ) | 3(4/n)^2 auch noch ausklammern
= (4/n) * (3*(4/n)^2 +3*(2*(4/n))^2+ ... + 3*(n* (4/n))^2 )
= 3*(4/n)^3 ( 1 + 2^2 + 3^2 + ....+ n^2)
Jetzt kennst du bestimmt die Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen (wird bei den Induktionsbeweisen bewiesen). Setze sie ein. Herleitung z.B. hier: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel1.htm
Es entsteht ein Bruchterm, dessen Grenzwert du dann recht einfach bestimmen kannst.
3*(4/n)3 ( 1 + 22 + 32 + ....+ n2) ;
= 3*(4/n)3 ( n(n+1)(2n+1) / 6 ) ;
= (3*4^3 * n(n+1)(2n+1)/ (6n^3) ;
= (4^3 * (n+1)(2n+1)/ (2n^2) = (4^3 (2n^2 + n + 2n + 1)) / (2n^2) |oben und unten durch n^2 ;
= 4^3 * (2 + 1/n + 1/n^2) / (2) ; Grenzwert n---> unendlich ;
F = 4^3 * (2+0+0)/2 = 4^3 = 64 ;
EDIT: Strichpunkt markiert Zeilenende, da die Umbrüche beim Speichern verschwinden.