Aloha :)
Bei der Obersumme näherst du die Fläche zwischen der x-Achse und dem Funktionsgraphen durch Rechtecke an, die höher sind als der Graph. Ich habe die Situation mal mit 5 solcher Rechtecke plotten lassen:
~plot~ (4-x^2) ; 3*(x>=1)*(x<=1,2) ; 2,56*(x>=1,2)*(x<=1,4) ; 2,04*(x>=1,4)*(x<=1,6) ; 1,44*(x>=1,6)*(x<=1,8) ; 0,76*(x>=1,8)*(x<=2,0) ; [[0|3|-1|4]] ~plot~
Da wir das Intervall \([1|2]\) betrachten, ist bei 5 Rechtecken jedes Rechteck \(0,2\) Einheiten breit. Die Höhe eines Rechteckes hängt von dem Funktionswert an seinem linken Rand ab. Für die 5 Rechtecke wäre die Näherungsformel für die Fläche also$$F_5\approx\sum\limits_{k=0}^4 f(1+k\cdot0,2)\cdot0,2$$Wenn wir nun nicht nur \(5\) Rechtecke verwenden, sondern allgemein \(n\) Rechtecke, wird die Breite eines jeden Rechtecks gleich \(\frac{1}{n}\) und die Näherungsformel ändert sich etwas:$$F_n\approx\sum\limits_{k=0}^{n-1}f\left(1+k\cdot\frac{1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}f\left(1+\frac{k}{n}\right)$$Wir setzen den Funktionsterm ein und rechenen die Summe aus:
$$F_n\approx\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(4-\left(1+\frac{k}{n}\right)^2\right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(4-\left(1+\frac{2k}{n}+\frac{k^2}{n^2}\right)\right)$$$$\phantom{F_n}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(3-\frac{2k}{n}-\frac{k^2}{n^2}\right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}3-\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{2k}{n}-\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{k^2}{n^2}$$$$\phantom{F_n}=\frac{3}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}1-\frac{2}{n^2}\sum\limits_{k=0}^{n-1}k-\frac{1}{n^3}\sum\limits_{k=0}^{n-1}k^2$$
Die erste Summe können wir direkt angeben:$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}1=n$$Die zweite Summe ist die "Gauß-Summe" und sollte bekannt sein:$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}k=\sum\limits_{k=1}^{n-1}k=\frac{n(n-1)}{2}$$Die dritte Summe muss man nicht auswendig kenne. Ich vermute, dass die Formel im Rahmen von Unter- und Obersummen in der Lehrveranstaltung dran war:$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}k^2=\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$$
Wir bauen alles in \(F_n\) zusammen:
$$F_n\approx\frac{3}{n}\cdot n-\frac{2}{n^2}\cdot\frac{n(n-1)}{2}-\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$$$$\phantom{F_n}=3-\frac{n(n-1)}{n^2}-\frac{1}{6}\cdot\frac{n(n-1)(2n-1)}{n^3}$$$$\phantom{F_n}=3-\frac{n-1}{n}-\frac{1}{6}\cdot\frac{(n-1)(2n-1)}{n^2}$$$$\phantom{F_n}=3-\frac{n-1}{n}-\frac{1}{6}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{2n-1}{n}$$$$\phantom{F_n}=3-\left(\frac{n}{n}-\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{n}{n}-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(\frac{2n}{n}-\frac{1}{n}\right)$$$$\phantom{F_n}=3-\left(1-\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{6}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(2-\frac{1}{n}\right)$$
Die Näherung für die Fläche wird exakt, wenn wir unendlich viele Rechtecke verwenden, wenn wir also \(n\to\infty\) konvergieren lassen:
$$F=F_\infty=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\;3-\left(1-\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{6}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(2-\frac{1}{n}\right)\;\right)$$$$\phantom{F}=3-1-\frac{1}{6}\cdot1\cdot2=2-\frac{2}{6}=\frac{6}{3}-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$$
Die Fläche beträgt also \(F=\frac{5}{3}\) Flächeneinheiten.
