Hi Marvin,
da musst Du Dich verhaspelt haben?! Ich komme mit der Trennung der Variablen auf folgendes:
y(x)' + (tan(x) + 1/x) y(x) = cos x
Homogen:
y(x)' + (tan(x) + 1/x) y(x) = 0
y'/y = -tan(x)-1/x |Integrieren
ln(y) = ln|cos(x)|-ln|x| + c = ln(|cos(x)|/|x|) + c
y = C*cos(x)/x
Für den partikulären Teil:
a*cos(x) + b*sin(x) = y
--> -a*sin(x) + b*cos(x) + a sin(x)+(a cos(x))/x+(b sin(x))/x+b sin(x) tan(x) = cos(x)
b*cos(x) + b*sin(x)/x + b*sin(x)*tan(x) + a*cos(x)/x = cos(x)
Man sieht direkt, dass für b = 0 nun a = x sein muss.
-> y = C*cos(x)/x + x*cos(x)
Wolfram bestätigt mein Ergebnis beinahe :P.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=+y%28x%29%27+%2B+%28tan%28x%29+%2B+1%2Fx%29+y%28x%29+%3D+cos+x+
Es fehlt wohl der Faktor 1/2 bei a, finde den Fehler aber gerade nicht. Vom Vorgehen sollte es aber passen?
Hoffe es hilft weiter,
Grüße