Inhomogene DGL. y' + (tan(x) + 1/x) y = cos x

Question

Ich sitze vor folgender DGL:
 y(x)' + (tan(x) + 1/x) y(x) = cos x

Wie löse ich sowas auf? Habs mit Trennung der Variablen versucht, aber dann erhalte ich die die homogene Gleichung:
y(x) = x · |cos(x)| · C

Wenn ich jetzt die Variation der Konstante machen möchte, habe ich Problem bei der Ableitung von |cos(x)|.

Hat jemand Ansätze für mich?

Answer 1

Hi Marvin,

da musst Du Dich verhaspelt haben?! Ich komme mit der Trennung der Variablen auf folgendes:

y(x)' + (tan(x) + 1/x) y(x) = cos x

Homogen:

y(x)' + (tan(x) + 1/x) y(x) = 0

y'/y = -tan(x)-1/x          |Integrieren

ln(y) = ln|cos(x)|-ln|x| + c = ln(|cos(x)|/|x|) + c

y = C*cos(x)/x

Für den partikulären Teil:

a*cos(x) + b*sin(x) = y

--> -a*sin(x) + b*cos(x) + a sin(x)+(a cos(x))/x+(b sin(x))/x+b sin(x) tan(x) = cos(x)

b*cos(x) + b*sin(x)/x + b*sin(x)*tan(x) + a*cos(x)/x = cos(x)

Man sieht direkt, dass für b = 0 nun a = x sein muss.

-> y = C*cos(x)/x + x*cos(x)

Wolfram bestätigt mein Ergebnis beinahe :P.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+y%28x%29%27+%2B+%28tan%28x%29+%2B+1%2Fx%29+y%28x%29+%3D+cos+x+

Es fehlt wohl der Faktor 1/2 bei a, finde den Fehler aber gerade nicht. Vom Vorgehen sollte es aber passen?

Hoffe es hilft weiter,

Grüße

Comments

Oh ja wie dumm. Hatte da einen Vorzeichenfehler.

Wie kommst du auf den Ansatz für den partikulären Teil?

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Das ist der allgemeine Ansatz der rechten Seite für einen trigonometrischen Störterm. Stets zu beachten, dass sowohl Sinus und Cosinus zu verwenden sind ;).

Es ist ebenfalls zu überprüfen ob ein sogenannter Resonanzfall vorliegt, falls Dir das was sagt ;).