Beim wievielten Quadrat ist der Umfang höchstens 1/1000 des Umfangs des Ausgangsquadrats? (Exponentialfunktionen)

Question

Aufgabe:

Verbindet man die Seitenmitten eines Quadrats, so erhält man wieder ein Quadrat. Setzt man dieses Verfahren fort, so erhält man wie in der Figur am Rand eine Folge von Quadraten.

Gib die Wachstumsfunktion für den Umfang der einbeschriebenen Quadrate an.

Beim wievielten Quadrat ist der Umfang höchstens \( \frac{1}{1000} \) des Umfangs des Ausgangsquadrats?

Answer 1

Sagen wir mal das äußere Quadrat hat Kantenlänge a.

Also U1 = 4a   ( Umfang des 1. Quadrates )

Seite des 2. Quadartes ist dann b mit:

b^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2  Pythagoras
b^2 = (1/2)a^2
b = √(1(2) * a

also U2 =  4 * √(1/2) * a

Ebenso U3 gibt U3= 4*√(1/2) * √(1/2) * a etc.

Also Un = 4 * √(1/2)^n-1 * a (Wachstumsfunktion)

Un = 1/1000  * U1
4 * √(1/2)^n-1 * a =1/1000   * 4a
√(1/2)^n-1 = 1 /1000  
(n-1) * ln(√(1/2)) =  ln( 1 /1000 )

(n-1) * (-0,3466) =  -6,908

n-1 = 19,93

n= 20,93

Also ist das ab dem 21. Quadrat so.

Answer 2

wenn man eine Linie von der oberen Ecke des großen roten Quadrats zum unteren Ende zieht und eine weitere Linie von der linken Ecke zur rechten Ecke, sieht man recht schnell:

Das größte einbeschriebene Quadrat hat die Hälfte der Fläche des Ursprungsquadrats.

Fläche des größten Rechtecks: A = a² | Umfang √(a²) * 4 = 4a

Fläche des einbeschriebenen Rechtecks: A = a²/2 | Umfang √(a²/2) * 4

Entsprechendes gilt für die in der Folge einbeschriebenen Quadrate.

Der Wachstumsfaktor ist also √(a²/2) * 4 / (4a) = a / √2 * 4 / (4a) = 1/√2

Und die Aufgabenstellung reduziert sich auf

(1/√2)ⁿ ≤ 1/1000

(√2)ⁿ ≥ 1000 | da man √2 als 2^1/2 schreiben kann:

2^{1/2 * n} ≥ 1000 | Logarithmus

1/2 * n ≥ ln(1000)/ln(2)

n ≥ ln(1000)/ln(2) * 2 ≈ 19,93

Das 20. einbeschriebene Quadrat hat also nur noch 1/1000 des Umfangs des Ursprungsquadrats.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe - keine Garantie :-)

Besten Gruß

Comments

Um Verwirrungen zu vermeiden:

mathef schrieb in seiner Antwort das 21. Quadrat insgesamt, ich kam auf das 20. einbeschriebene Quadrat.

Unsere Lösungen sind also identisch :-)