wenn man eine Linie von der oberen Ecke des großen roten Quadrats zum unteren Ende zieht und eine weitere Linie von der linken Ecke zur rechten Ecke, sieht man recht schnell:
Das größte einbeschriebene Quadrat hat die Hälfte der Fläche des Ursprungsquadrats.
Fläche des größten Rechtecks: A = a2 | Umfang √(a2) * 4 = 4a
Fläche des einbeschriebenen Rechtecks: A = a2/2 | Umfang √(a2/2) * 4
Entsprechendes gilt für die in der Folge einbeschriebenen Quadrate.
Der Wachstumsfaktor ist also √(a2/2) * 4 / (4a) = a / √2 * 4 / (4a) = 1/√2
Und die Aufgabenstellung reduziert sich auf
(1/√2)n ≤ 1/1000
(√2)n ≥ 1000 | da man √2 als 21/2 schreiben kann:
21/2 * n ≥ 1000 | Logarithmus
1/2 * n ≥ ln(1000)/ln(2)
n ≥ ln(1000)/ln(2) * 2 ≈ 19,93
Das 20. einbeschriebene Quadrat hat also nur noch 1/1000 des Umfangs des Ursprungsquadrats.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe - keine Garantie :-)
Besten Gruß