vollständige Induktion aufgabe

Question

bei folgender Aufgabe fehlt mir einfach ein Zwischenschritt zum vollständigen Verständnis :/

ich verstehe nicht wie man auf die Potenz n+1 im Nenner kommt (weiss aber dass das rauskommen soll)

$$.....\\ { für\quad alle\quad n>=2\quad gilt:\quad f }^{ n }(x)\quad =\quad \frac { -(n-1)! }{ { (2-x) }^{ n } } \quad (IV)\\ \\ zu\quad zeigen\quad ist\quad { f }^{ n+1 }(x)\quad =\quad \frac { -n! }{ { (2-x) }^{ n+1 } } \\ \\ { f }^{ n+1 }(x)\quad =\quad \frac { d }{ dx } { f }^{ n }(x)\quad =\quad (nach\quad IV)\quad \frac { d }{ dx } \frac { -(n-1)! }{ { (2-x) }^{ n } } \\ \qquad \qquad =\frac { -(n-1)!n }{ { (2-x) }^{ n+1 } } \quad =\quad \frac { -n! }{ { (2-x) }^{ n+1 } } \\ \\ beim\quad Vorletzten\quad Schritt\quad verstehe\quad ich\quad den\quad Rechenweg\quad nicht\quad ganz\\ die\quad Ableitung\quad von\quad \frac { -(n-1)! }{ (2-x)^{ n } } \quad ist\quad doch\quad \frac { -(n-1)! }{ (2-x)^{ 2n } } *(-n(2-x)^{ n-1 })\\ oder\quad liege\quad ich\quad völlig\quad daneben?\\ (2-x)^{ n-1 }\quad müsste\quad ja\quad dann\quad weggekürzt\quad worden\quad sein,\quad genau\quad da\\ hakt\quad es\quad dann\quad bei\quad mir...\\ $$

hoffe mir kann jemand helfen

Danke

Answer 1

Die Ableitung von -(n-1)!  /  (2 - x)^n  hast du doch mit der Regel   - f(x) / f^2 gemacht oder?
gibt    (n-1)!  /  (2 - x)^{2n} *  (-n)* (2-x)^n-1   Vor dem (n-1)! steht kein - , da es in der Formel - f(x) heißt
Daraus kannst du einen Bruch machen:

(n-1)!   (-n)* (2-x)^n-1   /   /  (2 - x)^{2n}    Dann hast du im Zähler  - n!

-n!* (2-x)^n-1     /  (2 - x)^{2n}

Und wenn du jetzt durch (2-x)^n-1  kürzt, bleibt im Nenner  (2-x) ^2n-(n-1)   also     (2-x) ⁿ⁺¹

Insgesamt also
  -n!  /      (2-x) ⁿ⁺¹

Comments

Genau, den Teil am Anfang hab ich auch so gemacht und das mit dem VZ ist mir auch noch aufgefallen. Ich hab tatsächlich einfach nur vergessen dass aus 2n-(n-1) = 2n-n+1 wird! Da hab ich mich dann nur im Kreis gedreht !