Anzahl der mehrfachen Nullstellen ermitteln.

Question

\( \mathbb{R}[t],  \mathbb{C}[t]\) sind Mengen der Polynome. Ist \( f \in \mathbb{R}[t]\) und \( \lambda \in \mathbb{C}\) eine Nullstelle von \(f\), so ist auch die konjugiert komplexe Zahl \( \lambda' \in \mathbb{C}\) eine Nullstelle von \(f\).

Und zweitens gilt \(u(f;\lambda) = u(f;\lambda') \), wobei \(u(f;\lambda) := max \{r \in \mathbb{N}: f=(t-\lambda)^r \cdot g\}\).

Den Beweis des ersten Teils verstehe ich. Für den Beweis des zweiten Teils habe ich folgendes stehen:

"Um die Vielfachheiten von \( \lambda\) und \( \lambda' \) zu vergleichen, genügt es für jedes \(k \in \mathbb{N} \)

\( u(f;\lambda) \ge k \Rightarrow u(f;\lambda') \ge k \) zu beweisen."

Kann mir das bitte jemand Erklären? Warum muss ich das zeigen?

Answer 1

weil dann offensichtlich für ein \( k_0 \) mit \( u(f, \lambda) = k_0 \) gilt, dass \(u(f,\lambda ') \geq k_0 \). Die Folgerung lässt sich aber auch analog durch Austauschen von \(\lambda\) und \( \lambda ' \)  auch in die Rückrichtung zeigen, so dass die Gleichheit klar wird.

Gruß

Comments

Yakyu, kannst Du mir das bitte genauer erläutern? Wenn \(u(f;\lambda) = k_0 \) und \( u(f;\lambda') \ge k_0 \), dann heißt es für mich nicht unbedingt, dass \( u(f;\lambda) = u(f;\lambda') \), denn z.B. für \( u(f;\lambda) = 5\) und \(  u(f;\lambda') = 6 \) wäre die Implikation wahr, aber das heißt immer noch nicht, dass \( u(f;\lambda) = u(f;\lambda') \)

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Beachte den 2. Satz meiner Antwort ;)