Eigenwert Eigenvektor Kommutator: Sei V der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad n

Question

Aufgabe 2:

Sei $V$ der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad $\leq n$. Für

$f(X)=a_{n} X^{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots+a_{1} X+\alpha_{0}$

sei dessen (formale) Ableitung gegoben durch

$f^{\prime}(X)=n a_{n} X^{n-1}+(n-1) a_{n-1} X^{n-2}+\cdots+a_{1}$

Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Abbildung $g: V \rightarrow V$, die gegeben ist durch

$f(X) \mapsto X \cdot f^{\prime}(X)$

Aufgabe 3:

Sei $K$ ein Körper und $k_{4} c_{1} \ldots ., c_{n} \in K$. Berechnen Sie die Eigenworte von
$A_{1}=\left(\begin{array}{crc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ k^{3} & -3 k^{2} & 3 k \end{array}\right), \quad A_{2}=\left(\begin{array}{cccc} c_{1} & c_{2} & \ldots & c_{n} \\ c_{1} & c_{2} & \ldots & c_{n} \\ \cdot & \vdots & . & \vdots \\ \cdot & \cdot & - & \cdot \\ \cdot & \cdot & . & \vdots \\ c_{1} & c_{2} & \ldots & c_{n} \end{array}\right)$

Aufgabe 4:

Der Kommutator zweier Matrizen $A, B \in M(n \times n, \mathbb{C})$ ist $[A, B]=A B-B A$. Gegeben seien drei Matrizen $E, F, H \in M(n \times n, C)$ mit

$\mid H, E]=2 E, \quad \mid H, F]=-2 F$

Sei $v$ ein Eigenvektor von $H$ zum Eigenwert $\lambda$. Zeigen Sie:

a) Ist $E v \neq 0$, dann ist Ev ein Eagenvektor von $H$ zum Eigenwert $\lambda+2$, und ist $F v \neq 0$, dann ist $F v$ ein Eigenvektor von $H$ zum Eigenwert $\lambda-2$.

b) Es gibt $k_{i} l \geq 0$ mit $E^{k} v=F^{2} v=0$.

Hat vielleicht jemand Ansätze, Tipps oder Lösungen? Komme da leider nicht vorran.

Zur Aufgabe 3a: Man könnte die Zeilen tauschen und hätte somit die Matrix in ZSF. Soll ich damit dann das charakteristische Polynom bestimmen? Was dann? Dann habe ich ja 2 Unbekannte: das "k" und "Lambda".

Answer 1

3a einfach genauso rechnen wie 1.1, k ist keine Unbekannte sondern konstant.

Comments

3a. als erstes würde ich die 3te zeile in die 1te einfügen damit ich in der diagonale werte habe.

danach bleibt ja nur die dieagonale über.

wenn ich diese werte miteinander multipliziere, komme ich auf:

λ³-λ²k³-2λ²+2λk³+λ-k³     das wäre das char. Polynom

wenn ich es jetzt =0 setze, wie soll ich da auf die nullstellen kommen wenn k unbekannt ist?

polynomdivision klappt doch nichtmals, weil ich die erste Nullstelle nicht erraten kann :/

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ich komm irgendwie auf eine nullstelle bei λ=1

Wenn ich es mit der polynomdiv mache, kriege ich es leider nicht ganz raus. zu viele ausdrücke, die als rest verbleiben würden..

bitte um hilfe

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ah ich habs, ich habe viel zu weit gerechnet. nach sarrus hat man schon die lösung!
hat jemand etwas zu 3b 4b oder 2 ??