Aufgabe 2:
Sei \( V \) der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad \( \leq n \). Für
\( f(X)=a_{n} X^{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots+a_{1} X+\alpha_{0} \)
sei dessen (formale) Ableitung gegoben durch
\( f^{\prime}(X)=n a_{n} X^{n-1}+(n-1) a_{n-1} X^{n-2}+\cdots+a_{1} \)
Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Abbildung \( g: V \rightarrow V \), die gegeben ist durch
\( f(X) \mapsto X \cdot f^{\prime}(X) \)
Aufgabe 3:
Sei \( K \) ein Körper und \( k_{4} c_{1} \ldots ., c_{n} \in K \). Berechnen Sie die Eigenworte von
\( A_{1}=\left(\begin{array}{crc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ k^{3} & -3 k^{2} & 3 k \end{array}\right), \quad A_{2}=\left(\begin{array}{cccc} c_{1} & c_{2} & \ldots & c_{n} \\ c_{1} & c_{2} & \ldots & c_{n} \\ \cdot & \vdots & . & \vdots \\ \cdot & \cdot & - & \cdot \\ \cdot & \cdot & . & \vdots \\ c_{1} & c_{2} & \ldots & c_{n} \end{array}\right) \)
Aufgabe 4:
Der Kommutator zweier Matrizen \( A, B \in M(n \times n, \mathbb{C}) \) ist \( [A, B]=A B-B A \). Gegeben seien drei Matrizen \( E, F, H \in M(n \times n, C) \) mit
\( \mid H, E]=2 E, \quad \mid H, F]=-2 F \)
Sei \( v \) ein Eigenvektor von \( H \) zum Eigenwert \( \lambda \). Zeigen Sie:
a) Ist \( E v \neq 0 \), dann ist Ev ein Eagenvektor von \( H \) zum Eigenwert \( \lambda+2 \), und ist \( F v \neq 0 \), dann ist \( F v \) ein Eigenvektor von \( H \) zum Eigenwert \( \lambda-2 \).
b) Es gibt \( k_{i} l \geq 0 \) mit \( E^{k} v=F^{2} v=0 \).
Hat vielleicht jemand Ansätze, Tipps oder Lösungen? Komme da leider nicht vorran.
Zur Aufgabe 3a: Man könnte die Zeilen tauschen und hätte somit die Matrix in ZSF. Soll ich damit dann das charakteristische Polynom bestimmen? Was dann? Dann habe ich ja 2 Unbekannte: das "k" und "Lambda".
