Textaufgabe: Wachstumsgeschwindigkeit einer Baumes. f(x) = 90*0.87^x

Question

 Aufgabe 4

Die Wachstumsgeschwindigkeit eines Baumes in cm pro Jahr kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x) = 90 • 0,87^x beschrieben werden, wobei x die Zeit in Jahren nach der Pflanzung angibt. Der Baum ist zum Zeitpunkt der Pflanzung 90 cm hoch.

a) Schreiben Sie die Funktion mit der Basis e und skizzieren Sie den Verlauf des Graphen mithilfe der Funktionswerte f(0) und f(1).

b) Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit nach 10 Jahren.

c) Berechnen Sie, wann die Wachstumsgeschwindigkeit 50 cm pro Jahr beträgt.

d) Zeigen Sie, dass $$F(x)=\frac{90}{ln(0,87)}\cdot e^{ln(0,87)x}$$ eine Stammfunktion von f ist.

e) Berechnen Sie die Höhe des Baumes nach 20 Jahren.

f) Berechnen Sie die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit innerhalb der ersten 20 Jahre.

Ich recherchiere gerade für meineFachabeit und versuche mich an der Aufgabe 4,, würde mir jemand helfen? Verstehe sie gar nicht...

Comments

Bitte etwas deutlicher !

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Ich hab das Bild leider nicht deutlicher da ich es auch nur so zur Verfügung gestellt bekommen habe! Tut mir ehrlich leid:(

Answer 1

f ( x ) = 90 * 0.87^x
f0 = 90 cm

a.)
0.87^x = e^{l*x}

ln ( 0.87^x ) = ln ( e^{l*x} )
x * ln ( 0.87 ) = l * x
l = ln ( 0.87 )
l = -0.1393

f ( x ) = 90 * e^{-0.1393*x}

f ( 0 ) = 90
f ( 1 ) = 78.3

b.)
f ( 10 ) = 90 * e^{-0.1393*10}
f ( 10 ) = 22.35 cm / Jahr

c.)
50 = 90 * e^{-0.1393*x}
e^{-0.1393*x} = 50 / 90 = 0.55555
-0.1393*x = ln ( 0.55555 )
x = 4.22 Jahre

d.)
F ( x ) =  90 / ln ( 0.87 ) * e^{ln[0.87]*x} 
F ´( x ) = [  90 / ln ( 0.87 ) * e^{ln[0.87]*x}  ] ´

90 / ln ( 0.87 ) * e^{ln[0.87]*x} * ln ( 0.87 )
90 * e^{-0.1393*x}  = f ( x )

e.)
h ( x ) = F ( x ) - F ( 0 ) + 90
h ( x ) = 90 / ln ( 0.87 ) * e^{ln[0.87]*x} + 646.26 + 90
h ( x ) = 90 / ln ( 0.87 ) * e^{ln[0.87]*x} + 736.26
h ( 20 ) = 90 / ln ( 0.87 ) * e^{ln[0.87]*20} + 736.26
h ( 20 ) = -39.88 + 736.26
h ( 20 ) = 696.38 cm

f.)
m = ( h ( 20 ) - h ( 0 ) ) / 20
m = ( 696.38 - 90 ) / 20
m = 30.3 cm / Jahr