orthogonalität von Matrix testen

Question

ich habe eine symmetrische Matrix A=  5 0 2 

                                                              0 -4 0 

                                                             2 0 5 

  Eigenvektoren: (0/1/0), (1/0/-1), (1/0/1) 

gegeben. Die Aufgabe lautet, einen Satz zu verifizieren: ... und Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal zu einander. Die Eigenvektoren und Eigenwerte habe ich berechnet

Wie rechne ich das nun ? In der Lösung wurde das mit dem Skalarprodukt gerechnet, nicht mit der Transponierten

Vielen Dank 

                        

Answer 1

Zwei Vektoren \(v,w\) sind orthogonal zueinander, wenn das Skalarprodukt null ist, d.h. \( \langle v, w\rangle = 0\)

Irgendetwas mit ner transponierten Matrix oder so musst du nicht tun.

Wenn du jedoch überprüfen willst, ob eine Matrix orthogonal ist, so musst du zeigen, dass \( AA^T = I\), d.h. \( A^T = A^{-1}\), wobei \(I\) die Einheitsmatrix bezeichnet.

Den Satz um den es geht solltest du schon komplett aufschreiben.

Comments

Der Satz lautet: Symmetrische reelle Matrizen haben reelle Eigenwerte und reelle Eigenvektoren und Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal zueinander. Den ersten Teil des Satzes habe ich verifiziert. 

Im Anhang habe ich die Lösung 

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OK, die Definition von Orthogonalität habe ich dir ja in meiner Antwort angegeben. Mit dieser musst du arbeiten, d.h. du musst schauen, ob das Skalarprodukt von Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stets 0 ist, so wie es in der Musterlösung gemacht wurde.

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Also ich muss mit jedem der Eigenvektoren das Skalarprodukt bilden und es muss alles 0 ergeben, sonst ist es nicht orthogonal ? 

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Genau. Eben so wie in der Musterlösung.