Untersuchung auf kritische Stellen: f(x,y)= x ( 2x^2 + 3x -12) + (y^2 + 2y -7)*e^y

Question

Ich habe folgende Funktion, die ich auf kritische Stellen untersuchen möchte:

f(x,y)= x ( 2x^2 + 3x -12) + (y^2 + 2y -7)*e^y

Dafür habe ich erst einmal die ersten Ableitungen gebildet:

nach x: 6x^2+6x-12

nach y: e^y(y^2+4y-5)

Aber jetzt?

Ich hätte es jetzt mit p/q Formel versucht, komme aber nicht auf die richtigen Lösungen.

Answer 1

f(x,y) = x·(2·x^2 + 3·x - 12) + (y^2 + 2·y - 7)·e^y

df/dx = 6·x^2 + 6·x - 12 = 0 --> x = -2 ∨ x = 1

df/dy = e^y·(y^2 + 4·y - 5) = 0 --> y = -5 ∨ y = 1

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Ich habe zu der Aufgabe eine Lösung, wo noch zusätzlich drunter steht, dass die kritischen Stellen (1,1); (1,-5); (-2,1); (-2,-5) sind. Wie komme ich daran? Das, was du mir bisher geschrieben hast, habe ich verstanden. Danke dafür!

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Christina91: Offenbar musst du nun einfach beide x-Werte mit beiden y-Werte kombinieren, um auf die 4 gesuchten Punkte (Stellen der Definitionsbereichs) zu kommen.

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Du meinst jeden Punkt mit jedem zusammenwürfeln? Ohne weiteres zu rechnen? Klingt einfach, aber doch irgendwie komisch. Woran sehe ich denn, dass ich das noch machen muss und dass die Aufgabe nicht schon vorher beendet ist?

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Die Funktion bildet ja von \( \mathbb{R}^2 \) nach \( \mathbb{R} \) ab. An einer kritischen Stelle müssen daher die partiellen Ableitungen so wohl in x- als auch in y-Richtung gleichzeitig 0 sein. Die kritischen Stellen sind also Elemente des \( \mathbb{R}^2 \), d.h. Vektoren. Man kann dann (sofern es möglich ist) einfach die Nullstellen der partiellen Ableitungen berechnen wie Mathecoach es gemacht hat und dann alle Paare (Vektoren) \( (x,y) \), für die gleichzeitig beide partiellen Ableitungen 0 sind aufschreiben. Das sind dann die kritischen Stellen.

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Danke für die Erklärung. Habe es verstanden.