Welche Teilmengen sind Unterräume des jeweiligen ℝ-Vektorraums?

Question

Entscheide, welche der folgenden Teilmengen einen Unterraum des jeweiligen ℝ-Vektorraums bilden.

(i) $W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}: 2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=0\right\}$

(ii) $V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4}: 4 x_{2}+3 x_{3}+2 x_{4}=7\right\}$

(iii) $\mathrm{GL}(3)=\left\{A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}: A\right.$ regulär $\}$.

(iv) $L=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1} x_{2}=0\right\}$

Anhand von welchen Kriterien kann man das entscheiden?

Answer 1

Du musst die definierenden Eigenschaften von Vektorräumen oder die Eigenschaften von Unterräumen überprüfen. Welche kennst du denn?

Wenn eine Eigenschaft nicht erfüllt ist, ist es kein Unterraum. Bei Unterräumen musst du alles nachprüfen.

(i) W ist ein Untervektorraum. (selbst nachrechnen): Ist geometrisch eine Ebene im R³, die den Ursprung enthält.

(ii) V ist kein Untervektorraum, da der Vektor (0,0,0,0) nicht in V enthalten ist.

(iv) (1,0) und (0,1) sind Elemente von L, aber (1,0) + (0,1) = (1,1) liegt nicht in L. ==> L ist kein Untervektorraum.

Comments

oke ich habe es verstanden, vielen Dank