Wie komme ich auf den richtigen Wachstumswert? (geometrische reihe)

Question

a) In einem Behälter befinden sich 64 1 Alkohol. Dem Behälter wird der vierte Teil des Inhalts entnommen und durch Wasser ersetzt. Von der so erhaltenen Mischung wird wieder der vierte Teil entnommen und durch Wasser ersetzt usw. Beim wievielten Mal befinden sich erstmal weniger als 5 Liter Alkohol in der Mischung?

Beim ersten mal werden ja 16 Liter Alkohol entfernt und 16 Liter Wasser zugegeben. Die Frage ist nun werden beim zweiten mal 8 Liter Alkohol und 8 Liter Wasser entfernt  und wieder 16 Liter Wasser zugegeben oder 12 Liter Alkohol entfernt und 12 Liter Wasser hinzugegeben. 

Laut Lösung tritt der zweite Fall zu. Ich verstehe allerdings nicht ganz wieso. Da ja ständig der vierte Teil also ¼ der Gesamtmenge entnommen wird können wir ja nicht sagen können "wir nehmen nur das Alkohol raus" Dies wird auch so nicht explizit in der Aufgabenstellung gestellt.

Wie komme ich also darauf das q=¾ sein muss?

Answer 1

Anfangs hast du 64L Alkohol. Davon wird ein Viertel (16L) entfernt und durch Wasser ersetzt.

Nach diesem Schritt hast du folglich 48L Alkohol und 16L Wasser im Behälter. Oder mit anderen Worten: 75% Alkohol, 25% Wasser. Nun entnimmst du wieder ein Viertel der Flüssigkeit, d.h. wieder 16L. Nun sind 75% von diesen 16L Alkohol und 25% Wasser, d.h. 12L Alkohol und 4L Wasser. Danach kippst du wieder 16L Wasser rein und hast somit 12L Alkohol durch Wasser ersetzt, denn die 4 restlichen Liter, die du entnommen hast, waren ja eh schon Wasser.

Answer 2

Hallo Lehas,

Es werden jeweils 25% sowohl des Alkohols als auch des Wassers entnommen; der Rest - also auch das entnommene Wasser - wird mit Wasser aufgefüllt, so dass das Wasser nach einem Vorgang mehr geworden ist, der Alkohol aber um 25% reduziert wurde:

0. 64 Alkohol | 0 Wasser

1. 48 Alkohol | 16 Wasser

3. 36 Alkohol | 28 Wasser

4. 27 Alkohol | 36 Wasser

5. 20,25 Alkohol | 43,75 Wasser

etc.

Also

64 * (3/4)ⁿ < 5 | : 64

(3/4)ⁿ < 5/64 | Logarithmus zur Basis 3/4

n > ln(5/64) / ln(3/4) ≈ 8,86

Nach dem 9. Vorgang befinden sich weniger als 5 Liter Alkohol in der Mischung.

Probe:

64 * (3/4)⁸ ≈ 6,41

64 * (3/4)⁹ ≈ 4,81

Besten Gruß

Comments

Super Erklärung

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Danke :-)

Sehr gern geschehen!

Answer 3

Hi,
der Alkohol veringert sich entsprechend der Formel \( 64 \cdot q^n \) mit \( q = \frac{3}{4} \) Der Wasseranteil nimmt entsprechend der Formel \( 16 \cdot \sum_{k=0}^{n-1} q^k = 16 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \) zu. In Summe bleibt die Flüssigkeitsmenge gleich. Für \( n = 9 \) wird \( 64 \cdot q^n \) zum erstenmal kleiner als \( 5 \)