Linearfaktorzerlegung ganzrationaler Funktionen. Bsp. f1 (x) = x^4 - 4x³ + 5x² -4x +4

Question

Wie faktorisiert man diese Aufgaben....?

a) f1 (x) = x^4 - 4x³ + 5x² -4x +4

b) f2(x) = x^6 -8x^5 +25x^4

Comments

b) Klammere x^4 aus. 

f2(x) = x⁶ -8x⁵ +25x⁴ 

^{= x^4(x^2 - 8x + 25)} 

x1 = 0

D = 64 - 100 < 0

----> x1 ist die Einzige Nullstelle von f2.

a) Bist du sicher, dass in der Mitte 5x^2 steht und weisst du, was (x-1)^4 gibt?

---

EDIT: Hatte da was falsch abgeschrieben. 

Answer 1

x⁴ - 4x³ + 5x² -4x +4  = 0
Erst mal raten x=2   dann Polynomdivision
)x⁴ - 4x³ + 5x² -4x +4) : ( x-2) = x^3 - 2x + x -2
Dann

  x^3 - 2x + x -2= 0   wieder raten, geht wieder x=2 

(x^3 - 2x + x -2) : ( x-2) = x^2 + 1

und das letzte ist mit reellen Zahlen nicht mehr faktorisierbar, also insgesamt

f(x) = (x-2)*(x-2)*(x^2+1)

b) f2(x) = x⁶ -8x⁵ +25x⁴  

hier erst mal x^4 ausklammern:

f(x) = x^4 * ( x^2 - 8x + 25 )

und die Klammer gleich 0 hat auch keine reelle Lösung,

also ist das die fertige Faktorisierung im Reellen.

Answer 2

Aufgabe 1)  ----->Polynomdivision!

Ergebnis : (x- 2) ( x+2 )  (  x² +1)   !!

Comments

Ergebnis : (x- 2) ( x+2 )  (  x² +1)  Das gibt aber  x^4 -3x^2 - 4

Answer 3

$$ \begin{aligned} f_1 (x) &= x^4 - 4x^3 + 5x^2 -4x +4 \\         &= x^4 - 4x^3 + 4x^2 +x^2 -4x +4 \\         &= x^2 \cdot \left(x^2 - 4x + 4\right) +x^2 -4x +4 \\         &= \left(x^2 + 1 \right)\cdot \left(x^2 - 4x + 4\right) \\         &= \left(x^2 + 1 \right)\cdot \left(x - 2\right)^2. \end{aligned} $$