Wo liegt der Fehler im Beweis? Behauptung: Alle Menschen haben dieselbe Größe.

Question

Wo liegt der Fehler im folgenden Beweis:

Behauptung: Alle Menschen haben dieselbe Größe. Beweis durch vollständige Induktion nach der Zahl n ∈ N einer Gruppe von n Menschen.
Induktionsanfang n = 1. Hier ist die Behauptung ofiensichtlich korrekt.

Induktionsschritt: Es sei eine Gruppe von n+1 Personen gegeben. Eine wird abgesondert. Die restlichen n Personen haben nach Induktionsannahme dieselbe Größe. Nun nehme die abgesonderte Person zur Gruppe dazu und entferne eine andere Person der Gruppe. Wieder haben nach Induktionsannahme diese n Personen dieselbe Größe, was den Induktionsbeweis komplettiert.

Answer 1

Bei einem Induktionsbeweis muss man zunächst zeigen, das es für ein kleinstes n richtig ist. Das wurde hier korrekt gemacht.

Dann muss man zeigen das es für n + 1 gilt, wenn es auch für n gilt.

Hier wurde gezeigt das es für n + 1 gilt unter der Annahme das die Annahme stimmt. Das ist leider nicht zulässig. Man darf also im Induktionsschritt nicht das voraussetzen was wir beweisen wollen.

Comments

  ich muss einen ähnlichen Beweis machen und habe auch schon eine Lösung. Meine Idee ist, das der Induktionsschritt für n=1 auf n+1=2 nicht funktioniert. Ist diese Begründung auch ausreichend?

Habe ich deine Begründung korrekt verstanden:

Der Beweis ist schon durch die Induktionsvoraussetzung falsch, da wir die Annahme immer nur für ein konkretes n annehmen können und nicht für alle n.

Also z.B.: Es sei eine Gruppe von n+1 Personen gegeben. Eine wird abgesondert. Die restlichen n Personen haben nach Induktionsannahme dieselbe Größe.

In diesem Fall könnten wir eigentlich nur sagen, dass es laut Induktionsannahme eine konkrete Person gibt unter den n Personen, welche gleich groß zu sich selbst ist.

?

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Ist eine Person in der Menge haben sicher alle Personen in der Menge die gleiche Größe.

Ich will also darauf aufbauend beweisen das es für 2 Personen in der Menge gilt.

Also sonder ich eine Person ab. Dann müsste ich zeigen das die abgesonderte Person die Gleiche Größe hat wie alle in der restlichen Menge.

Nur wenn es für alle n-Elementigen Teilmengen gilt muss es ja nicht für die Vereinigungsmenge gelten.

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Danke, das hat mir beim Verstehen geholfen :)

Answer 2

Der "Fehler" liegt in dem Satz
"Nun nehme die abgesonderte Person zur Gruppe dazu und entferne eine andere Person der Gruppe."

Du darfst nicht einfach voraussetzen, dass es zwei verschiedene solcher Mengen gibt, sondern musst es beweisen.

Gibt es zwei n-elementige Teilmengen A, B einer n+1-elementigen Menge M, für die gilt:
die Schnittmenge ist nicht leer und die Vereinigungsmenge ergibt M.