Vollständige Induktion. Algebra: ∑k=0 bis n 2^k = 2^{n+1}-1

Question

∑_{k=0 bis n}    2^k = 2^n+1-1

Komme nicht auf den richtigen Induktionsschluß mit n+1...

EDIT (Lu): Gemeint war ∑_{k=0 bis n}    2^k = 2ⁿ⁺¹-1

Comments

Dann zeig doch mal, was du bisher hast.

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I.A. n=1∑ k=0 bis 1 2^k= 2^1=2 =2^{1+1-1}

I.V. Es existiert ein n Element der natürlichen Zahlen, welches die Gleichung erfüllt.
I.S. n ↦ n+1∑ k=0 bis n+1 2^k = 2^{n+1} =2*2^n=(I.V.:) 2*2^{n+1-1}q.e.d.

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IA:  sei n=0

2⁰ = 2^(0+1-1)

2⁰ = 2⁰    richtig

IH: o.g. Fragestellung sei wahr

IS: zeige, dass die Aussage für n+1 wahr sei bzw. auch gilt

n → n+1

∑_{k=0 bis n+1}   2^k = 2 ^(n+1)+1-1

⟨∑_{k=0 bis n}  2^k⟩ + 2ⁿ⁺¹ = 2^(n+1)+1-1

2^n+1-1 + 2ⁿ⁺¹ = 2^(n+1)+1-1

und das ist ja nicht das gleiche oder?  ich komm' nicht drauf...

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Tja da lässt sich halt keine Richtigkeit beweisen, weil die Aussage einfach falsch ist :D

Guck doch mal, bei:

∑ k=0 bis 2 2^k :

Dann wäre dass: (2^0)+(2^1)+(2^2)=7

Und bei 2^{n+1-1}=2^{2+1-1}=4

Aber 7 ist ungleich 4 !!!

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dann ist die Aufgabe Nonsens?

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Ja, woher hast du denn die Aufgabe ? :D

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$$\text{Soll wohl richtig heißen }\sum_{k=0}^n2^k=2^{n+1}-1.$$

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Ja richtig, damit lässt sich das ganze ja auch wunderbar einfach per induktion beweisen ;)

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nee, die -1 steht im Exponenten. Aufgabe aus einer Lehramtsklausur.

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ok, vielleicht war die -1 doch 'unten', habe die Aufgabe nun so berechnet. Beweis per Induktion hat geklappt.

danke euch allen für die Beiträge... ;-)

Answer 1

der Induktionsschritt ist folgender:

\( \sum_{k=0}^{n+1} 2^k = 2^{n+1} + \sum_{k=0}^{n} 2^k = 2^{n+1} + 2^{n+1} - 1 =  2^{n+2} - 1 \).

Schöne Grüße

Mister