Vollständige Induktion. Zu zeigen: ∑ (k = 1 bis n) (k·2^k) = 2^{n + 1}·(n - 1) + 2

Question

Aufgabe:

Vollständige Induktion. Zu zeigen:

\( \sum\limits_{k=0}^{n}{k · 2^{k+1}} = 2^{n + 1}·(n - 1) + 2 \)

Answer 1

Zu zeigen:

∑ (k = 1 bis n) (k·2^k) = 2^{n + 1}·(n - 1) + 2

Induktionsanfang: n = 1

∑ (k = 1 bis 1) (k·2^k) = 2^{1 + 1}·(1 - 1) + 2
1·2^1 = 2^2·0 + 2
2 = 2
wahr

Induktionsschritt: n --> n + 1

∑ (k = 1 bis n + 1) (k·2^k) = 2^{n + 1 + 1}·(n + 1 - 1) + 2
∑ (k = 1 bis n + 1) (k·2^k) + (n + 1)·2^{n + 1} = 2^{n + 2}·n + 2
2^{n + 1}·(n - 1) + 2 + (n + 1)·2^{n + 1} = 2^{n + 2}·n + 2
2^{n + 1}·(n - 1) + (n + 1)·2^{n + 1} = 2^{n + 2}·n
2^{n + 1}·(n - 1 + n + 1) = 2^{n + 2}·n
2^{n + 1}·(2·n) = 2^{n + 2}·n
2^{n + 2}·n = 2^{n + 2}·n
wahr