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Zeigen sie mit vollständiger Induktion, dass für jede natürliche Zahl n>=1 Folgendes gilt:

nk=1  [(k+3)*2k]  = (n+2) * 2n+1-4

Da ich Induktion noch nicht allzu oft gemacht habe komme nach etwas probieren leider nicht mehr weiter:


IA:  n -> 1

Linke Seite:     (1+3)*21 = 8

Rechte Seite:  (1+2)*21+1-4 = 8


IS: n -> n+1

n+1k=1  [(k+3)*2k]  =

[ ∑nk=1  (k+3)*2k]  + [((n+1)+3)*2n+1]  =

[(n+2)+2n+1-4] +  [((n+1)+3)*2n+1]  =


Ab hier komme ich leider nicht mehr weiter. Wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Denke das ich zumindest mal bis hier hin nichts falsch gemacht habe.

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IA:  n =  1        . Hier geht es NUR um n=1.

IS: n -> n+1    . Hier geht es um einen Übergang von n nach n+1. Daher der Pfeil. 

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IS: n -> n+1    . Hier geht es um einen Übergang von n nach n+1. Daher der Pfeil. 

Schreibe erst mal die Induktionsvoraussetzung IV und die Induktionsbehauptung IB hin, damit klar ist, wohin deine Rechnung gehen soll. 

Dann der Beweis des Induktionsschritts: 

n+1k=1  [(k+3)*2k]


= [ ∑nk=1  (k+3)*2k]  + [((n+1)+3)*2n+1]      | IV 

= [(n+2)*2n+1-4] +  [((n+1)+3)*2n+1]        | Eckige Klammern überflüssig

 (n+2)*2n+1-4  +  ((n+4)*2n+1]

= (n+2 + n+ 4) * 2^{n+1}  - 4

= (2n + 6) * 2^{n+1} - 4

= (n+3) * 2 * 2^{n+1} - 4

= ( n+1 + 2) * 2^{ n+1 + 1}   - 4             Das sollte jetzt der Induktionsbehauptung nahe kommen. 

Avatar von 162 k 🚀

Super, vielen Dank für die Hilfe  Lu!

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