Beweise durch vollständiger Induktion: ∑^n_(k=1) log ( 1 + (1/k)) = log (n+1)

Question

Zeigen sie ∑ⁿ_k=1  log ( 1 + (1/k)) = log (n+1)
meine Lösung  ist :
I.A   für n=1 
∑¹_k=1     log (1+ (1/K) = log (2) = log(1+1)= log(2)

I.V   es existiert  n ∈ℕ   ∑ⁿ_k=1  log ( 1 + (1/K)) = log (n+1)  dass sie Aussage Wahr ist.
I.S    für n → n+1
∑ⁿ⁺¹_k=1   log ( 1 + (1/K)) +log (n+1)
I.V   log ( 1 + (1/K)) +log (n+1)   I (n+1)

= log (n+1)² + log (2) durch Bernoulli  
log (n+1) ≥ log ( 1+2 *1) = log (n+1) ≥ log (3)  aber das stimmt nicht :(  

Answer 1

warum kompliziert wenns auch einfach geht.

Dein Fehler liegt in der Anwendung der IV:

$$ \sum_{k=1}^{n+1} \log \left( 1+ \frac{1}{K}  \right) = \log(n+1) + \log \left(1 + \frac{1}{n+1} \right) = \log(n+2)  $$

Die letzte Gleichung erhält man übrigens direkt durch Rechenregeln für den Logarithmus.

Gruß

Comments

Oh Danke :)

Ich weiß jetzt,wo ich meine Fehler gemacht habe .