Vereinigung zweier Untervektorräume

Question

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Ich soll folgenden Beweis führen und komme nicht auf eine halbwegs formale Idee:

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Voraussetzungen: V ist ein Vektorraum über K und U1, U2 sind Untervektorräume von V.

Aussage, die bewiesen werden soll: Wenn U1∪U2 = V, dann ist U1 = V oder U2 = V.

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Mein Beweisansatz (grob umrissen) aus zwei Fällen:

(1) U2 sei Untervektorraum von U1, dann ist, weil U2 dann Teilmenge von U1 ist, auch die Vereinigung gleich U1 woraus dann sofort folgen würde nach Bedingung, dass U1 = V. Analog ist dies umgekehrt zu sehen, so als wäre U1 Untervektorraum und Teilmenge von U2, woraus folgen würde, dass U2 = V. (Sieh auch hier: https://www.mathelounge.de/64837/zeigen-sie-ist-ein-unterraum-von-genau-dann-wenn-oder-w2-gilt)

(2) Weder sei U2 Untervektorraum von U1 noch umgekehrt. Dann gibt es einen Vektor x1, der nicht in U2 aber in U1 und einen Vektor x2, der nicht in U1 aber in U2 ist. Die Summe, das würde ich jetzt beweisen wollen, also x1 + x2 liegt jetzt zwar in V, soweit beweisbar, aber nicht in U1 und auch nicht in U2 und das eben zu beweisen ist mein Problem.
Hätte ich eine Definition/einen Satz/... , die/der mir sagte, dass für alle a in irgendeinem W gilt, dass a + b genau dann in W ist, wenn auch b in W ist, dann wäre hier alles klar
aber so...

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Der Verzweifelte Sucher

P.S.: Der Beweis soll besonders schön und in drei Zeilen unterzubringen sein... ...und das da oben sollte nur ein Ansatz sein, der Beweis darf auch ruhig in vollkommen anderer Herangehensweise geschehen... ...nochmals

Answer 1

Hi,

Challenge: 1-2 Zeile(n). Beweis durch Kontraposition

Annahme: \( U_1 \neq V \wedge U_2 \neq V \Rightarrow \exists v \in V: v \notin U_1 \wedge v \notin U_2 \Rightarrow U_1 \cup U_2 \neq V\)

Gruß

Comments

Vielen Dank, Yakyu, für die Antwort...

Ich verstehe leider noch nicht ganz, wie genau man auf die erste Implikation kommt. (...aus U₁ ungleich V und U₂ ungleich V folgt, dass es ein v in V gibt, das weder in U₁ noch in U₂ ist...)
So ein paar "Zwischenschritte" wären (vergessen wir hier mal kurz die Challenge) ganz gut...

Gruß zurück!

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Kann schon verstehen. dass die erste Implikation nicht wirklich intuitiv aussieht, deswegen mal ausführlicher.

$$ U_1 \neq V, \ U_2 \neq V  \Rightarrow \exists v_1, v_2 \in V: v_1 \notin U_1, \ v_2 \notin U_2$$

Man definiere sich beispielsweise: \( v := v_1 + v_2 \in V \) (Dies ist jedoch nur in einem Fall notwendig/sinnvoll, kannst dir überlegen in welchem. In den restlichen Fällen ist die Wahl von \(v\) offensichtlich).

Dann hast du die Implikation.

Hab mir grade noch deinen Ansatz durchgelesen (war am Anfang zu faul sorry :D). Aber im Grunde ist das ja genau das was du bei 2) meintest.

Das was dir noch fehlt in deinem Beweis braucht keinen eigenen Satz oder ähnliches sondern geht direkt aus der Definition eines VR bzw. UVR hervor. Überleg doch mal: sollte \( v_1 \notin U_1, v_2 \notin U_2 \) sein, aber \(v_1 \in U_2 \) der Fall sein, dann ist \( v_1 + v_2 \notin U_2 \). Ansonsten würdest du ja den Widerspruch

$$v_1+v_2 - v_1 = v_2 \in U_2 $$

erzeugen können!

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Genau das trifft mein Problem quasi auf den Kopf, wie ich oben unter (2) schon beschrieben habe...

Natürlich würde ich dann auch die Summe bilden und mir denken, dass die in V liegen muss weil v₁ und v₂ in V sind und anhand der Vektorraumaxiome..., soweit alles klar, dann stellt sich aber die Frage, ob tatsächlich v₁+v₂ weder in U₁ noch in U₂ ist, denn das würde eben schön beweisen, dass U₁ und U₂ nicht ganz V sind etc.

Klar ist mir dazu sowieso auch, dass
(a) v₁ nicht in U₁ aber in U₂ liegend gewählt wird und
(b) v₂ nicht in U₂ aber in U₁ ist.

Die Vektorraumaxiome sagen doch aber* nur, dass, habe ich zwei Vektoren in U₂, dann ist deren Summe auch in U₂ und nicht "wenn genau einer der beiden Vektoren nicht in U₂ ist, dann ist deren Summe automatisch nicht in U₂", was aber wiederum intuitiv stimmt. Jedenfalls stimmt es nicht, wenn beide Vektoren nicht in U₂ sind, dann kann deren Summe ja durchaus in U₂ sein: (1,0)+(0,1)=(1,1) ...

Wie oben schon gesagt: Hätte ich eine Definition/einen Satz/... , die/der mir sagte, dass für alle a in irgendeinem W gilt, dass a + b genau dann in W ist, wenn auch b in W ist, dann wäre hier alles klar
aber so...

Der eine Fall ist, würde ich sagen, eingetreten, wenn U₁ + U₂ = V ist, also wenn sie gemeinsam V aufspannen, zum Beispiel, wenn sie komplementär sind...

Mir ist intuitiv eigentlich sofort einleuchtend gewesen, dass die Aussage, die bewiesen sein will, richtig ist aber es fehlt eben noch irgendwie die Formalisierung...

Jedenfalls nochmal vielen Dank für Deine Mühe bis hierhin!

*an sich betrachtet, ohne irgendetwas daraus herzuleiten

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Was genau fehlt dir denn jetzt noch? Sind alle Fälle jetzt klar? Gibt es noch irgendwas was unklar ist?

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Sorry, hab grade eben erst (resp. vorhin erst) deine Hinzufügung gelesen...
Auf den ersten Blick war ich überzeugt, jetzt bin ich stutzig. Ich möchte dich nicht aufhalten, aber:

Du hast keine Klammern gesetzt...
Fest steht wieder, wie du sagst, dass

v1 nicht in U1   ist und
v2 nicht in U2   aber
v1 in U2.

Der Beweis soll jetzt so gehen, dass v1 + v2 nicht in U2 sein kann, weil die Annahme v1 + v2 ist in U2 zum Widerspruch führt:
Also da v1 in U2 ist, existiert in U2 auch noch (-v1) und da per Annahme (v1+v2) in U2 ist, ist folglich auch die Summe
(v1+v2) + (-v1)  =  (-v1) + (v1+v2)    in U2.

Um das umzuformen würde ich in folgenden Schritten vorgehen, die die Axiome vorgeben:

Benötigte Axiome:
(1) (x+y)+z = x+(y+z) für alle x,y,z in V
(2) x+y = y+x für alle x,y in V
(3) es gibt eine 0 in V mit x+0=x für alle x in V
(4) zu jedem x in V gibt es ein (-x) in V mit x+(-x) = 0


Schritt 1 nach (1): (-v1) + (v1+v2) = ((-v1) + v1) + v2
Schritt 2 nach (2): ((-v1) + v1) + v2 = (v1 + (-v1)) + v2
Schritt 3 nach (4): (v1 + (-v1)) + v2  = 0 + v2
Schritt 4 nach (2): 0 + v2 = v2 + 0
Schritt 5 nach (3): v2 + 0 = v2

Hier wäre der Widerspruch.

Mein Problem ist, dass ich schon Schritt 1 nicht an den Axiomen begründen kann, Schritt 1 nach (1) ist quasi falsch, denn wenn ich (1) benutzen wollte, hieße das, dass "...z in V" auch v2 in U2 sein müsste für diesen Schritt, was es nach Vorgabe oben nicht ist und so komme ich nicht zum Widerspruch, weil bei Schritt 1 was nicht stimmt.

Tut mir Leid, wahrscheinlich übersehe ich etwas...

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Hab es jetzt!
Danke vielmals!
Das ist ja hübsch; man nimmt dann einfach den großen Vektorraum V und die Assoziativität muss funktionieren, weil v1, v2, (-v1) alle zwar nicht in U2 aber dafür in V sind, klar.
Gute Nacht und nochmals Dankeschön! :-)

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Hey genau das wollt ich dir grade schreiben, der Axiomkonflikt kam dadurch zustande, dass du die Axiome des Vektorraums direkt auf die Struktur des Untervektorraums angewendet hast. Wie du aber gut erkannt hast verrechnest du die Vektoren erst im Vektorraum und zeigst dann, dass die Summe somit nicht im Untervektorraum liegen. Kein Problem :) bin froh das ich dir helfen konnte.