Berechne die Matrixdarstellung T[ v ] → [ w ]

Question

Betrachte die Basis [ v ] = [ v⁽¹⁾, v⁽²⁾, v⁽³⁾ ] von ℝ³ mit

\( v^{(1)}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right], v^{(2)}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], v^{(3)}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] \)

und die Basis [ w ] = [ w⁽¹⁾, w⁽²⁾ ] von ℝ² mit

\( w^{(1)}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right], \quad w^{(2)}=\left[\begin{array}{c}2 \\ -1\end{array}\right] \)

Berechne die Matrixdarstellung T_{[ v ] → [ w ]} von

a) \( T: R^{3} \rightarrow R^{2},\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{c}2 x_{3} \\ x_{1}\end{array}\right] \)
b) \( T: R^{3} \rightarrow R^{2},\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{l}x_{1}-x_{2} \\ x_{1}+x_{3}\end{array}\right] \)

Wie genau macht man das wenn die Dimension ändert?

Answer 1

a)

w(v) = T * v

mit

T = [0, 0, 2; 1, 0, 0]

b)

w(v) = T * v

mit

T = [1, -1, 0; 1, 0, 1]

Comments

Erstmals vielen Dank für die Antwort,

könntest du eventuell etwas genauer sagen was man rechnen muss um auf diese Lösung zu kommen, ich sehe es im Moment noch nicht ganz?

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Du kannst die Matrix T und den Vektor v allgemein aufstellen

T = [a, b, c; d, e, f] und v = [x; y; z]

Nun multiplizierst du T mit v

[a, b, c; d, e, f] * [x; y; z] = [a·x + b·y + c·z; d·x + e·y + f·z]

Nun bildest du die Lösung aus dem Koeffizientenvergleich

[a·x + b·y + c·z; d·x + e·y + f·z] = [2·z; x] --> a, b, e, f = 0, c = 2, d = 1

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Kann es sein, dass du die geänderte Basis im Zielraum übersehen hast ?

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Ja stimmt. Das kann sein :(

Man kann aber jeden Vektor der mit v1, v2, v3 gegeben ist in einen Vektor des R3 umrechnen

[x; y; z] = [1, 1, -1; 0, 2, 1; -1, 1, 1] * [v1; v2; v3]

Genau so kann man jeden Vektor des R2 in die Basis w umrechnen

[w1; w2] = [1, 2; -1, -1]^{-1} * [x; y] = [-1, -2; 1, 1] * [x; y]

Nun sollte man die Transformation eigentlich als Multiplikation notieren können. Dann kann man das Ganze wiederrum multiplizieren.

[-1, -2; 1, 1]·[0, 0, 2; 1, 0, 0]·[1, 1, -1; 0, 2, 1; -1, 1, 1] = [0, -4, 0; -1, 3, 1]

Answer 2

In den Spalten der Matrix stehen die Koeffizienten, die man zur Darstellung
der Bilder der Basisvektoren mit der Basis im Zielraum braucht.

bei a)  also

f(v1) = ( - 2 ; 1)  und den jetzt durch die w's darstellen
          = 0*w1 + (-1)*w2  also ist die erste Spalte der Matrix 0; -1


f(v2) = ( 2 ; 1)  und den jetzt durch die w's darstellen
                     ( 2 ; 1) = a*(1;-1)  +  b*(2;-1) = ( a+2b ; -a - b )
                                      a+2b = 2     -a - b = 1
                                     a = 2-2b
                                                          -2+2b-b=1
                                                                   b=3
                                     a=-4          also ist die erste Spalte der Matrix -4; 3

f(v3) = ( 2 ; - 1)  und den jetzt durch die w's darstellen
                     ( 2 ; -1) = a*(1;-1)  +  b*(2;-1) = ( a+2b ; -a - b )
                     a+2b = 2     -a - b = -1
                                     a = 2-2b
                                                     -2+2b-b= -1
                                                               b=1
                              a=0               also diesmal  0 , 1
                        (hätte man auch ohne Rechnung sehen können : - )
Matrix also
 0   -4   0
-1    3   1

b) so ähnlich.

Comments

Vielen Dank,

ich verstehe alles ausser wie man auf f(v1) = ( - 2 ; 1),  f(v2) = ( 2 ; 1)  und f(v3) = ( 2 ; - 1) kommt

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f(v1) = f ( 1;0;-1)   also musst du bei der gegebenen Abbildung

[ x1 ; x2 ; x3 ] ------>  [ 2x3  ;  x1  ]    alles einsetzen x1=1  und x2=0  und x3= -1 

dann steht hinter dem Pfeil   ------>  [ 2*-1  ;  1  ]     =  (  -2  ;  1 ), also ist das f(v1).