Konvergenz oder Divergenz der Reihe mit a_n=1/n(n-1)

Question

Ich hab die Reihe \(\sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n(n-1)}}\) und muss ermitteln, ob sie konvergiert oder divergiert. Ich konnte es leider nicht abschätzen und mit dem Quotientenkriterium geht es auch nicht. Danke.

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Tipp: Führe eine Partialbruchzerlegung durch. Die Partialsummen bilden eine sog. Teleskopsumme.

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Kann es sein, dass die Reihe gegen 1 konvertiert?

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In der Tat\(\).

Answer 1

Also 1 , Konvergenz !

Answer 2

∑ (k=2 bis n) (1 / (k·(k - 1)))

Partialbruchzerlegung

= ∑ (k=2 bis n) (1/(k - 1) - 1/k)

Wir schreiben die Glieder mal auf

= (1/(2 - 1) - 1/2) + (1/(3 - 1) - 1/3) + (1/(4 - 1) - 1/4) + ...

= (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ...

= 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ...

= 1

Fertig.

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Danke, hab mich vorher nicht mit der Partialbruchzerlegung beschäftigt, hab es jetzt aber gelernt und ein paar Aufgaben gemacht.