Aufgabe:
5.0 Gegeben ist die Funktionenschar \( \mathrm{f}_{2} \) durch die Gleichung
\( \mathrm{f}_{a}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{a}^{2} \mathrm{x}^{3}-2 \mathrm{ax}^{2}+3 \mathrm{x} \quad \mathrm{mit} \mathrm{D}_{t_{4}}=\mathbf{R} \text { und } \mathrm{a} \in \mathbf{R}^{*} \)
Die Graphen der Funktionen \( \mathrm{f}_{4} \), heißen \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}_{5}} \).
5.1 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen \( \mathrm{f}_{2} \) in Abhängigkeit von a und geben Sie deren Vielfachheiten und geometrische Bedeutung an.
5.2 Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Extrempunkte der Graphen \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \), und gehen Sie in einer Fallunterscheidung auf deren Art in Abhängigkeit von a ein.
5.3 Durch die Punkte \( P_{1}\left(\frac{1}{a} ; \frac{4}{3 a}\right) \) und \( \mathrm{P}_{2}\left(\frac{3}{a} ; 0\right) \) der Graphen \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}_{3}} \) verlaufen die Geraden \( \mathrm{g}_{\mathrm{a}} \).
Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung für die Geraden \( \mathrm{g}_{3} \) und begründen Sie, dass diese zueinander parallel sind.
5.4.0 \( \operatorname{Im} \) Folgenden gilt \( a \in \mathbb{R} \) '.
Die Graphen \( \mathrm{G}_{\mathrm{t}_{3}} \) schließen mit der Abszissenachse im ersten Quadranten eine Fläche vollständig ein.
5.4.1 Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Inhalt dieser Fläche \( \mathrm{A}=\frac{9}{4 \mathrm{a}^{2}} \mathrm{FE} \) gilt.
5.4.2 Bestimmen Sie den Wert für a so, dass der Inhalt dieser Fläche \( \mathrm{A}=4 \mathrm{FE} \) beträgt.
Ansatz/Problem:
Meine bisherigen Ergebnisse sind:
5.1 Nst:
X1=0 (einfache Nullstelle)
X2,3= 3/a (doppelte Nst, berührende Nst)
5.2 Ableitungen:
fa'(x)= a^2*x^2-4ax+3
fa''(x)= a^2*x -4a
fa'(x)= 0
XE1= 1/a ; f (1/a)= 4/3a
XE2= 3/a ; f (3/a) = 0
5.3 Hier weiß ich nicht, was ich machen soll.
