Nullvektor und Diagonalisierbarkeit in F7

Question

Ist eine nxn-Matrix automatisch nicht diagonalisierbar, wenn deren Eigenwerte nur den Nullvektor als Eigenvektoren haben?

Comments

Gibt's das überhaupt?

Hast du ein Beispiel einer Matrix, die einen Eigenwert hat, der nur den Nullvektor als Eigenvektor hat?

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Jeder Eigenwert hat,soweit ich weiß. Mindestens 1 Eigenvektor.

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Also sitz gerade an der Matrix:

4	0	5
6	1	6
5	6	2

über dem Körper F7

und da habe ich als charakteristisches Polynom x^3 -5x -5. Nun sind davon die Eigenwerte 2 und 3.

Wenn ich jetzt den Eigenvektor davon berechnen will, bekomme ich jeweils nur den Nullvektor.

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Das ist etwas für Marvin.

x=2 und 3 bekomme ich auch mit Wolframalpha.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3+-5x+-5+%3D+0+modulo+7

Aber beim charakteristischen Polynom und v.a. den Eigenvektor gebe ich vermutlich was falsch ein.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%284%2C0%2C5%29%2C%286%2C1%2C6%29%2C%285%2C6%2C2%29%29+modulo+7

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Warum ist das was für mich? :D

Kann mich grad leider nicht mit beschäftigen, mach ich später,wenn noch Bedarf besteht.

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Ja wäre nett, wenn du dir das angucken könntest :)

Allgemein soll ich überprüfen ob die Matrix diagonalisierbar ist über F7.

Das gilt ja wenn die algebraische Vielfachheit = geometrischer Vielfachheit ist.

Nun ist die wegen der unterschiedlichen Eigenwerte die algebraische Vielfachheit = 2.

Da ich über die Eigenvektoren nicht weitergekommen bin habe ich es nun damit versucht:

Die geometrische Vielfachheit = dim(kern(A-λE)) und dim(kern(A-λE)) = #Spalten - Rang(A-λE).

Da habe ich für beide dann  dim(kern(A-2E) = dim(kern(A-3E) = 0.

Also ist die algebraische Vielfachheit ungleich der geometrischen. Also ist Die Matrix nicht diagonalisierbar.

Ich hoffe, dass das stimmt^^

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jd197: Bist du dir denn bei deinem charakteristischen Polynom sicher. Vgl. mein 2. Link oben.

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ja ich hatte auch erst -x^3+7x^2+47x+19 raus, aber da ist noch nicht modulo 7 gerechnet worden. Denn dann kommt -x^3+0*x^2+5x+5 bzw. x^3-5x-5 raus.

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Ich habs mal als Antwort gepostet-

Answer 1

-5 mod 7 ist nicht gleich 5 mod 7.

Dein char. Polynom ist somit:

6x³+5x+5

bzw.

-x^3+5x+5

Eigenwerte sind hierbei aber trotzdem 2 und 3.

Möchte ich den Eigenvektor berechnen berechnen:

Zu 2:

ker(

2 0 5

6 -1 6

5 6 0

)

also 

ker(

2 0 5 

6 6 6 

5 6 0

Wir formen um:

Multiplizieren die 1. Gleichung mit 3 und ziehen diese von der 2. ab. 

Multiplzieren die 1. Gleichung mit 6 und ziehen diese von der 3. ab.

Wir erhalten:

ker(

2 0 5

0 6 5

0 6 5

Das ergibt:

2a = -5 c

a = c

Und 

6 b = -5c

6 b = 2c 

3b = c

Ich wähle also z.b. b= 1.

Dann erhalte ich als Eigenvektor ( 3, 1 ,3 ) ^T

Reicht die Rechnung für einen Eigenvektor?

Hoffe mal, ich habe keinen Fehler gemacht.

EDIT: Musste kurz noch etwas ändern.

Comments

Vielen Dank, jetzt sehe ich was ich falsch gemacht. Ich habe versucht den Eigenvektor aus A-λE zu berechnen und nicht aus dem Kern davon^^

Answer 2

Hi,

da besteht ein grundsätzliches Missverständnis. Es kann zwar sein das \( \lambda = 0 \) eine Eigenwert ist, Eigenvektoren sind aber per Definition \( \ne 0 \), was ja auch Sinn macht, den \( Av = \lambda v \) gilt ja immer, wenn \( v = 0 \) ist.

Comments

Achso, also darf ich das nicht Eigenvektor nennen? Aber was gibt mir dies für eine Information, wenn ich den Eigenvektor ausrechnen will und der Nullvektor rauskommt?

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Dann ist es kein Eigenvektor, ganz einfach.

Answer 3

Wenn als Eigenvektor nur der Nullvektor rauskommt, ist das

ein Zeichen dafür, dass du dich bei der Bestimmung des

Eigenwertes vertan hast.

Über die Nullstellen des char. Polynoms bestimmst du

ja gerade die Werte, für die das  hom LGS    Matrix - x*E= 0

die Determinante 0 hat, also unendlich viele Lösungen haben

muss.

In deinem Fall sind - wie oben schon bestimmt -

(3;1;3)^T und für den anderen Eigenwert 3 bekommst du so

ähnlich z.B. (2;2;1)^T heraus.

Kannst du auch leicht prüfen

M*(3;1;3)^T = (27;37;27)^T = (6;2;6)^T = 2*(3;1;3)^T  also

Eigenvektor zum EW 2.

M* (2;2;1)^T = (6;6;3)^T = 3*(2;2;1)^T  also EV zu EW 3.

Allerdings ist in keinem der Fälle der Eigenraum 2-dimensional,

weil die betreffende Matrix sich nicht auf 2 Zeilen mit lauter Nullen

umformen lässt.  Deshalb nicht diagonalisierbar.