Lösungsmenge einer trigonometrischen Gleichung bestimmen: sin(x - π) = 0

Question

Ich soll die Lösungsmenge von sin(x - π) = 0 im Intervall 0 bis 2π bestimmen.

sin(x - π) = 0  |sin-1

x - π = 0          | + π

x = π                | Intervall reinbringen

x = 2πk + π

x1= 2π0 + π  --> x1 = π

x2 = 2π1 + π --> x2 = 3π

x3 würde dann nicht mehr in den Intervall passen und das Ergebnis wäre L = {π; 3π}

Irgendetwas habe ich hier jetzt falsch gemacht, denn die eigentliche Lösung ist L = { 0 ; π; 2π}

Ich habe schon probiert als Intervall nur πk zu nutzen, also x = πk + π  --> x = 2πk, aber das klappt auch nur um 0 zu erhalten. Wo liegt der Fehler?

Answer 1

sin(x - pi) = 0

x - pi = arcsin(0) = k * pi

x = k * pi + pi

k kann alle ganzen Zahlen annehmen. Daher kann man das plus pi weglassen.

x = k * pi

Wenn es um das Intervall von 0 bis 2 * pi geht gehören 0, pi und 2 * pi in die Lösungsmenge.

Comments

danke erstmal!
Kann man π dann auch bei anderen Gleichungen weglassen? zB habe ich eine andere Aufgabe gerechnet bei der ich die Lösungsmenge bestimmen sollte: sin(3x) = 1 --> x = (π/6) + (2/3)πk und die richtige Lösung erhält man nur, wenn man mit (π/6) rechnet. Woher weiß ich dann also, dass π wegfallen kann?

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Besser und Verständlicher ist es wohl wenn ich sage ich substituiere

x = k * pi + pi = (k + 1) * pi

Substituiere z = k + 1

x = z * pi

Wenn k und z aber ganze zahlen sind ist es später eigentlich egal ob man ab ende z schreibe oder k.

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sin(3x) = 1

3x = arcsin(1) = 1/2 * pi + k * 2 * pi

x = (1/2 * pi + k * 2 * pi) / 3

x = 1/6 * pi + k * 2/3 * pi

Hier kann ich nichts weiter vereinfachen und lasse das so.

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Okay, dankeschön!

Answer 2

Mit dem arcsin zu arbeiten ist nicht verkehrt.
In deiner Aufgabe würde es einfacher gehen.

sin ( x - π ) = 0
sin ( y ) ist 0 bei
y = 0 , π, -π, usw

y = x - π = 0
x = π

y = x - π = π
x = 2 *π

y = x - π = -π
x = 0

Als x = 0, π, 2 * π