Verifizieren Sie cos^4(x) - sin^4(x) = cos(2x)

Question

Aufgabe:

Verifizieren Sie cos⁴x - sin⁴x = cos(2x)

Answer 1

Hallo Cortex,

das sieht doch nach der dritten binomischen Formel aus \(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\): $$\cos^4x - \sin^4x = (\cos^2x + \sin^2x)(\cos^2x - \sin^2x)$$ Und \(\cos^2x + \sin^2x=1\), und \(\cos^2x-\sin^2=\cos(2x)\) siehe Doppelwinkelfunktionen. Es bleibt $$\dots = (\cos^2x + \sin^2x)(\cos^2x - \sin^2x) = 1\cdot \cos(2x) = \cos(2x)$$Die Doppelwinkelfunktion folgt aus dem Additionstheorem $$\cos(x+x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^2x - \sin^2x$$ Gruß Werner

Comments

vielen Dank Werner!!

Answer 2

cos^{4}x - sin^{4}x       | 3. binomische Formel

= (cos^{2}x - sin^{2}x)*(cos^{2}x + sin^{2}x)

= …

= cos(2x)

Comments

vielen Dank! Das war schon alles?

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Doppelwinkelformel und den trigonometrischen Pythagoras musst du noch kennen und anwenden in der fehlenden Zeile.

Answer 3

nutze die Doppelwinkelformel, trigonometrischen Pythagoras und dritte binomische Formel:

cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)=(cos^2(x)+sin^2(x))(cos^2(x)-sin^2(x))=cos^4(x)-sin^4(x)