Im Vektorraum: λx = 0 ⇔ (λ = 0 ∨ x = 0)

Question

Ich möchte beweisen, dass in einem Vektorraum V über dem Körper K für $$x\in V,~\lambda\in\mathbb{K}$$ gilt, dass: $$\lambda x = 0 \Leftrightarrow (\lambda = 0 \vee x = 0)$$

Den Beweis habe ich erst einmal aufgeteilt:

(1) Implikation von rechts nach links
      (1a) Aus x = 0 folgt λx = 0, also (anhand der Körperaxiome) λ0 = 0
      (1b) Aus λ = 0 folgt λx = 0, also (anhand der Vektorraumaxiome) 0x = 0
(2) Implikation von links nach rechts
      (2a) Aus x ≠ 0 sollte folgen λ = 0
      (2b) Aus λ ≠ 0 folgt x = 0



Die Teile (1a), (1b) und (2b) waren sofort klar. - Das Problem liegt bei (2a) ich komme da gerade irgendwie nicht auf den Teilbeweis.

Answer 1

Wenn du 2b schon gezeigt hast, brauchst du 2a gar nicht mehr machen.

Du gehst von \(\lambda x=0\) aus und kannst dann zwei Fälle unterscheiden: Entweder ist \(\lambda=0\) oder \(\lambda\neq 0\).
Im ersten Fall brauchst du nichts mehr machen, denn dann ist ja die Behauptung \(\lambda=0\vee x=0\) schon erfüllt.
Im zweiten Fall kannst du auf beiden Seiten der Gleichung \(\lambda x=0\) mit \(\lambda^{-1}\) multiplizieren und erhältst \(x=0\) (das war das, was du in 2b gezeigt hast).

Comments

Vielen Dank, das kam mir auch gerade in den Sinn und ist eigentlich offensichtlich...

Dankeschön!!!

Answer 2

für \(x \neq 0 \) ist mindestens eine der Komponenten  \(x_i  \neq 0\). Aus \(\lambda x_i = 0 \) muss also \( \lambda = 0 \) folgen.

Gruß

Comments

2b reicht völlig aus

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Tut es auch, aber das war nicht die Frage.

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Wieso reicht (2b) aus?

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Weil der Fall \( \lambda = 0 \) klar und unabhängig von \(x\) ist.

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Das verstehe ich leider nicht...

Zurückkommend auf die "Komponenten":
Was genau meinen Sie damit?

Jedenfalls schon mal vielen Dank für Ihre Mühe bis hierhin!!!

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Du kannst den Vektor bezüglich einer Basis darstellen. Die Komponente \(x_i\) ist der i.te Eintrag.

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Und was ist, wenn der Vektorraum unendlichdimensional ist, und eventuell eine Basis überabzählbar ist? Wie willst du dann die Einträge "durchnummerieren"?

Ich würde hier überhaupt keine Komponentendarstellung verwenden.

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Das hab ich in der Tat nicht bedacht und es auch viel zu umständlich gemacht. Danke für den Hinweis. Dementsprechend auch das Brett vor dem Kopf beim Kommentar vom Gast. da es sich bei 2a) um die Kontraposition von 2b) handelt.

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Warum der Rückzieher ?
Lass die Dimension doch so unendlich sein wie sie will, das ändert doch nichts an der Richtigkeit deiner Überlegungen.

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Genau das habe ich mir auch zuallererst gedacht... (Das mit unabzählbar...)
Ansonsten wäre das mit dem Basisisomorphismus aber recht sinnvoll, weil schließlich x_i ∈ K sein würde und weil ja auch λ ∈ K ist und die Multiplikation kommutativ ist in K, also  λ x_i  =  x_i λ  =  0 . Damit wäre nämlich analog zu dem Beweis, den ich vorhin (offline, für mich selbst) geführt hatte wenn x_i ≠ 0 sicher λ = 0, was ich ja zeigen möchte...

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Hier der Beweis im Detail:
(Andere Namen, geht schneller...)

Seien a und b im Körper K.
Sei a ≠ 0.

Weil a ∈ K und a ≠ 0  ∃ a^-1 ∈ K mit a^-1a = 1.

Gegeben ist ab = 0, also a^-1ab = a0, also 1b = a0.
Separat hatte ich bewiesen, anhand der Körperaxiome, dass a0 = 0  ∀ a ∈ K
Also ist 1b = 0 und wegen der Neutralität der 1 ∈ K laut Axiomen auch b = 0.

Damit ist bewiesen, dass unter den gegebenen Bedingungen, besonders da a ≠ 0, b = 0. $$\square$$

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Das war kein Rückzieher und auch kein Eingeständnis das die obige Behauptung falsch sei :). Nur Ehrlichkeit. Das "Durchnummerieren" ist nicht das Problem, die Formulierung sollte nur etwas präzisier sein.