Zusammenhang zwischen Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-,Extrem-, und Wendestellen

Question

Hallo !

Es fällt mir schwer, einen Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und den Nullstellen, Wendestellen und Extremstellen zu verstehen.

Das einzige, was ich weiß ist, dass eine Polynomfunktion 2 Grades genau 2 Nullstellen hat und einen Extrempunkt ( und nicht einmal hier bin ich mir sicher)

Ich suche jetzt eine Übersicht über verschiedene Polynomfunktionen und wie viele  Null-, Wende und Extremstelllen sie haben können, aber ich finde nichts.

Könnte mir das jemand bitte erkären?

Answer 1

Ein Polynom n. Gerades kann maximal n Nullstellen haben.

Ein Polynom mit einem Grad der ungerade ist muss mindestens eine Nullstelle haben.

Ein Polynom n. Gerades kann maximal n - 1 Extremstellen haben.

Ein Polynom mit einem Grad der gerade (>= 2) ist muss mindestens eine Extremstelle haben.

Ein Polynom n. Gerades kann maximal n - 2 Wendestellen haben.

Ein Polynom mit einem Grad der ungerade (>= 3) ist muss mindestens eine Wendestelle haben.

----------

Das einzige, was ich weiß ist, dass eine Polynomfunktion 2 Grades genau 2 Nullstellen hat und einen Extrempunkt ( und nicht einmal hier bin ich mir sicher) 

Ich weiß, dass ein Polynom 2. Grades eine Parabel ist. Stell es dir vor. Sie kann keine, eine oder 2 Nullstellen haben. Einen Extrempunkt (das ist der Scheitelpunkt) hat sie immer.

Comments

f(x) = 1 + x^4 +x^6

ist gerade und wo ist das extremum?!

---

f ´( x ) = 4*x^3 + 6*x^5
4*x^3 + 6*x^5 = 0
x^3 * ( 4 + 6 * x^2 ) = 0
Satz vom Nullprodukt.
x^3 = 0
und
4 + 6 * x^2 = 0
x = keine Lösung

Fälle
x = 0 : Schnittpunkt
x^2 = 0 : Berührpunkt  ( + Steigung gleich )
x^3 = 0 : Berührpunkt 2.Ordnung (  + Krümmung gleich = Flachpunkt )

Ich stelle einmal den Graph ein. Ansonsten mußt du dich
weiter kundig machen.

E ( 0 | 1 )

f(x) = 1 + x⁴ +x⁶

~plot~ 1 + x^4 + x^6 ~plot~

---

klar, aber nach meinem mathe lehrer ist das , wegen f'' = 0 kein extremum.

Aber ich glaube er beachtet dabei nicjt, dass das mit f''= 0 "nur" eine hinreichende bed. is oder?

---

Bis Fälle dürfte es in meiner Antwort noch stimmen .

Korrektur
ich stelle einmal die Graphen ein für

f ( x ) = 1 + x^2 + x^4
f ´( x ) = 2 * x + 4 * x^3
x * (  2 + 4 * x^2 ) = 0
x = 0 ( blaue Kurve ; 1 Extrempunkt  )

g ( x ) =   1 + x^3 + x^5
g ´( x ) =  3 * x^2 + 5 * x^4
x^2 * ( 3  + 5 * x^2 ) = 0
x^2 = 0 ( rote Kurve ; kein Extrempunkt )

h ( x )  = 1 + x^4 + x^6
h ´( x ) = 4 * x^3 + 6 * x^5
x^3 * ( 4 + 6 * x^2 ) = 0
x^3 = 0 ( grüne Kurve ; 1 Extrempunkt )

~plot~ 1 + x^2 + x^4 ; 1 + x^3 + x^5 ;  1 + x^4 + x^6 ~plot~

---

Extrempunkt
Steigung = 0 und die Monotonie ändert sich ( fallend nach steigend
oder umgekehrt )

f ´( x ) = 2 * x + 4 * x³

Monotonie steigend
2 * x + 4 * x^3 > 0
x * ( 2 + 4 * x^2 ) > 0
2 + 4 * x^2 ist stets > 0
falls x > 0 dann steigend
umgekehrt
Monotonie fallend
2 * x + 4 * x^3  < 0
x * ( 2 + 4 * x^2 ) < 0
2 + 4 * x^2 ist stets > 0
falls x < 0 dann fallend

Der Punkt x = 0 ist ein Extrempunkt

Für die anderen Funktionen kann derselbe Nachweis entsprechend
geführt werden.

Answer 2

allgemein gilt: Polynom n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen.

da die Ableitung den Grad n-1 hat, hat sie also höchstens n-1 Extremstellen
und da die 2. Abl. Grad n-2 hat, höchstens n-2 Wendestellen.