Dreieck rotiert um Basis AB=5, gesucht ist Volumen

Question

Ein gleichschenkliges Dreieck rotiert um Basis AB=5cm, Mittelpunkt von AB ist M. .Schenkel sind 6 cm.

Gesucht Volumen (und später noch Oberfläche.)

Habe hier 2 Rechnungen gemacht. Eine muss falsch sein. Wäre euch sehr dankbar, wenn einer meinen "Denkknoten" lösen könnte.

Lösung 1: Das Dreieck CMB rotiert um MB, anschließend wird das Ergebnis verdoppelt, so habe ich das Volumen von ABC rotiert (=Doppelkegel)

Höhe h= Wurzel aus (6^2 - 2,5^2)=5,45 cm

Entsprechend für Rotation: r=5,45   Höhe=2,5   Seite Dreieck s=6

V kegel = 1/3 * r^2 * pi * h V kegel = 1/3 * 5,45^2 * pi * 2,5 = 77,72 cm^3

Weil Doppelkegel: V doppelkegel = 2 77,72 = 155,44 cm^3 

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Lösung 2: lasse die ganze Dreiecksfläche ABC auf einmal rotieren um AB.

Höhe Dreieck, wie oben: h=5,45 cm.

A dreieck = 1/2 * Grundlinie * Höhe

                  = 1/2 * 5 * 5,45 =12,38 cm^2

Umfang der Rotation: U = 2 * r * pi                mit          r=5,45 (Höhe des Dreiecks ABC)

                                            = 2* 5,45 * pi = 34,23 cm  

V dreieck rotiert = A dreieck * U rotation                              = 12,38 * 34,23 = 423,6 cm^3

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Wäre toll, wenn mir jemand meinen Denkfehler erklären könnte und wie richtig gerechnet werden muss.

 

Danke

Uli

Answer 1

 

Der Rechenweg bei 1. scheint mir richtig. Nachgerechnet habe ich allerdings nicht.

2. Kannst du nicht so machen.

Lösung 2: lasse die ganze Dreiecksfläche ABC auf einmal rotieren um AB.

Höhe Dreieck, wie oben: h=5,45 cm.

A dreieck = 1/2 * Grundlinie * Höhe

                  = 1/2 * 5 * 5,45 =12,38 cm²

Umfang der Rotation: U = 2 * r * pi                mit          r=5,45 (Höhe des Dreiecks ABC)

                                            = 2* 5,45 * pi = 34,23 cm  

V dreieck rotiert = A dreieck * U rotation                              = 12,38 * 34,23 = 423,6 cm³

Das wäre auch das Volumen eines Prismas mit Grundfläche Dreieck und Höhe U,

So  wird speziell der Bereich in der Nähe der Rotationsachse zu stark berücksichtigt.

Du müsstest eigentlich dünne Zylinder ineinander schieben und Röhrenvolumina addieren. Radius ist variabel und somit auch der Umfang.