Wohldefiniertheit von Cauchy-Folgen, die einen Ring bilden.

Question

Die Menge aller Cauchy-Folgen   c: ℕ-> ℚ bezeichen wir mit  Cauchy(ℚ)
´Wir wollen sehen, dass diese unter gliedweiser Addition und gliedweiser Multiplikation einen kommutativen Ring bilden:

a,b ∈ Cauchy(Q):
a + b: IN -> Q : i -> a_i + b_i
a * b: IN -> Q : i -> a_i * b_i

1) Mache dir klar, warum die Wohldefiniertheit der Verknüpfungen noch zu zeigen ist und warum die beiden folgenden Teilaufgaben diese Wohldefiniertheit zeigen.

2) Zeige a,b ∈ Cauchy(Q)  => a+b ∈ Cauchy(Q)

3) Zeige a,b ∈ Cauchy(Q)  => a*b ∈ Cauchy(Q)

Hinweis: Beschränktheit.


Ich verstehe nicht warum ich dass zeigen muss..
a und b sind aus IN und werden auf Q abgebildet. Dann ist doch dass was rauskommt aus Q und auf jeden Fall beschränkt. Eindeutigkeit folgt ja auch direkt aus eigenschaft von Q.
Oder versteh ich das alles falsch?

Answer 1

Die Definition der Verknüpfungen besagt ja einfach, dass wenn ich die beiden Cauchyfolgen a und b gliedweise addiere (bzw. multipliziere) ebenfalls eine Cauchyfolge rauskommt. Das ist zu Beginn jedoch nicht klar und muss überprüft werden.

Gruß