Es sei \( \left(X_{n}\right) \) eine Cauchy-Folge reeller Zahlen. Es gelte sogar
\( \forall n \in \mathbb{N}: \forall k, m \geq n:\left|X_{k}-X_{m}\right|<\frac{1}{n} \)
Weiter seien für alle \( n \in \mathbb{N} \)
\( X_{n}=\left[\left(x_{p}^{n}\right)_{p \in \mathbb{N}}\right] \) und \( \left(x_{p}^{n}\right)_{p \in \mathbb{N}} \) rationale Cauchy-Folgen mit
\( \forall p \in \mathbb{N}: \forall a, b \geq p:\left|x_{a}^{n}-x_{b}^{n}\right|<\frac{1}{p} \)
Hinweis: Um die Notation zu vereinfachen sind diese Folgen so gegeben, dass die Abbildungen \( \phi \) und \( \theta \) aus der Vorlesung jeweils die Identität sind.
Wir definieren \( z_{k}:=x_{k}^{k} \) für alle \( k \in \mathbb{N} \).
Beweisen Sie, dass \( X_{n} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}\left[\left(z_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\right] \) gilt. Sie dürfen benutzen, dass \( \left(z_{k}\right) \) eine CauchyFolge in \( \mathbb{Q} \) ist.
Bis jetzt habe ich leider keinen Ansatz.
Vielen Dank!
