Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht dier Wert einer normalverteilten Zufallsvariablen vom Erwartungswert ab?

Question

Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht dier Wert einer normalverteilten Zufallsvariablen vom Erwartungswert mü um höchstens 0,5% ab, wenn dieser 10 und sigma=0,5?

Ansatz:

N (10;0,5€

95% iger Streubereich 0,5%......0,05
R: 10*(1-0,05)=9,5      10*(1+0,05)=10,5
sigma((10,5-10)/0,5)-sigma((9,5-10)/0,5=sigma(0,5)-sigma(-0,5)= 0,6915-(1-0,6915)=0,383

mü ist 10.

Mein Intervall wäre somit:

[10-0,05/10+0,05]=[9,95/10,05]
sigma((10,05-10)/0,5) - sigma((9,95-10)/0,5=
sigma(0,5)-sigma(-0,1)=
(0,6915)-((1-sigma(0,1))=
0,6915-(1-0,5398)=
0,6915-0,4602=
0,2313

Comments

Du musst zunächst das Intervall bilden welches um nicht mehr als 0.5% von mü abweicht.

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Ich denke das soll \( \Phi \) heissen und Du musst 0.5% nehmen und nicht 5%. 0.05 entspricht aber 5%.

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Genau

10 * (1 ± 0.005) = ...

Du solltest auf eine Wahrscheinlichkeit von etwa. 7.97% kommen.

Answer 1

Hi,
die Normalverteilung sieht so aus
$$ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 }  $$
Diese Funktion muss über dem Intervall
$$ [ \mu - 0.5\% \mu , \mu + 0.5\% \mu ] = [9.95 , 10.05] $$
integriert werden. Das Ergebnis ist tabelliert und ergibt
$$ \int_{9.95}^{10.05} f(x) dx = 0.08 $$ und das sieht so aus

Comments

Hielen Dank für deine Hilfe!

Ich möchte die Aufgabe eigentlich ohne dem Integral lösen. Tabelliert ist der Wert den ich bei meiner Rechnung f(x)= raus bekomme oder?
Und dies bestimmt woanders wie in der Phi(z) Tabelle nehme ich an, wenn es um Intervalle geht.
Bitte um Antwort, .
Was habe ich oben denn falsch gemacht. Es wurden die Grenzen angegeben und sigma(b)-sigma(a)berechnet um die Fläche zu bekommen!
Habe ich falsch gerechnet oder was soll ich daraus eben machen?

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Du kannst das alles auf die Standardnormalverteilung \(  \Phi(t)  \) zurückführen mit der Transformation $$ t_{1,2} = \frac{x_{1,2}-\mu}{\sigma} $$ Mit der Grenze \( x _1 = 10.05 \) und \(  x_2 = 9.95 \) ergibt sich \( t_{1,2} \pm 0.1 \).

Die Werte sind z.B. hier tabelliert

https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung

Es ergibt sich \(  \int_{9.95}^{10.05} f(x) = \Phi(0.1) - \Phi(-0.1) = 2 \cdot \Phi(0.1) - 1 = 2 \cdot 0,53983 - 1 = 0.07966 \)