Separabler Hilbertraum --> Abzählbare Orthonormalbasis

Question

kann mir jemand fix beweisen, dass ein separabler Hilbertraum eine abzählbare Orthonormalbasis hat?

Jeder Vektorraum hat ja eine Orthonormalbasis.

Wenn der Vektorraum V separabel ist, existiert mindestens eine Teilmenge M={m_n |n∈ℕ} , sodass für jedes v aus V gilt:

lim n-->∞ ||v-m_n|| = 0

Wieso ist dann die Basis abzählbar (unendlich)?

Comments

Ein paar Ideen dazu, vielleicht hilft es ja:

Der Raum ist separabel, also existiert die von dir beschriebene Menge M, die dicht in V liegt und endlich oder abzählbar ist. Meine Intuition sagt mir, dass die lineare Hülle span(M) auch dicht in V liegt, da M eine Teilmenge von span (M) ist. Das müsstest du ggf. formal zeigen. Dann bist du im Prinzip fertig denn M ist abzählbare Basis von span (M) und die kannst du mit Gram-Schmidt orthonormalisieren. Und da span(M) wie gesagt dicht in V liegen müsste haste dann die gewünschte abzählbare ONB von V.

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Ok, danke erstmal für deine Antwort.

Dass der Span(M) dann auch dicht in V liegt, ist glaube ich trivial.

Aber wieso ist M automatisch eine Basis für Span(M) und für ganz V?

Sind die Elemente in M stets linear unabhängig?

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Das ist denke ich ein berechtigter Einwand. Sehe gerade auch keinen Grund, wieso alle Elemente in M linear unabhängig sein sollten. Aber das macht nichts, denn M ist ein Erzeugendensysteem von span(M) (per Definition) und da M höchstens abzählbar ist, kann eine Basis B von span(M) auch höchstens abzählbar sein.

Durch Gram-Schmidt erhält man aus B die (höchstens abzählbare) ONB B' von span(M) und des impliziert ja span(B')=span(M) und die Menge liegt dicht in V. Per Definition ist also B' eine ONB von V (unendlichdimensional) (vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Orthonormalbasis )

Das sind wie gesagt nur Ideen von mir. Ich finds plausibel, bin aber mit der Materie nicht so gut vertraut.

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Alles klar, das macht auch Sinn.

Danke Dir :)

Answer 1

hier nochmal als Anmerkung auf LC's Kommentar eine kleine Beweisskizze (ich kann grad schlecht abschätzen wie weit das Vorwissen besteht):

Durch Gram-Schmidt erhält man eine abzählbares Orthormalsystem, dessen lineare Hülle dicht im Hilbertraum liegt. Was zu zeigen bleibt, ist das die Parsevalsche Gleichung gilt denn genau dann ist das ONS auch eine Orthormalbasis. Das die Parsevasche Gleichung gilt kann man mit Hilfe der Bessel'schen Ungleichung zeigen.

Gruß