Monotonieverhalten nachweisen für f_{a}(x) = ln(x^2) + a/x

Question

Wie weise ich hier das Monotonieverhalten nach?

\( f_{a}(x) = ln(x^2) + \frac{a}{x} \)

Ansatz/Problem:

\( \begin{aligned} f_{a}(x) &=\ln \left(x^{2}\right)+\frac{a}{x} \qquad \frac{a}{x}=a x^{-1} \\ f_{a}^{\prime}(x) &=\frac{1}{x^{2}} \cdot 2 x+-a x^{-2} \\ &=\frac{2 x}{x^{2}}-\frac{a}{x^{2}} \\ &=\frac{2}{x}-\frac{a}{x^{2}} \end{aligned} \)

Answer 1

Du musst ja schauen, wann die Ableitung positiv bzw. negativ ist.

2/x - a/x^2  > 0    | x^2   (ist größer Null, da x=0 nicht möglich da ln(0) nicht definiert)

2x - a > 0

2x > a

x>a/2  also mon. steigend für über ] a/2 ; unendlich [

Ansonsten ist f ' (x) < 0 aber bei 0 ist eine Definitionslücke und zwar Polstelle mit VZW.

Also monoton fallend von -unendlich bis o

dann monoton fallend von 0 bis a/2

und dann monoton steigend.

Comments

Warum wird mal x^2 gerechnet?

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Du brauchst ja Aussage über das x. Da ist es ja immer am besten so aufzulösen, dass x alleine steht, wenn das denn möglich ist.

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Achsoooo also muss ich bei Monotonie immer nach x auflösen und dann gucken bei größer ist es steigend und bei kleiner fallend.

Und noch eine Frage: hier ist es ja jetzt monoton steigend. Wann wäre es dann streng monoton? Also woher wüsste ich das?

Und wie mache ich das wenn ich es nicht nach x auflösen kann?

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bei f '(x) ist es streng monoton.

Nicht "streng" wäre es ja nur, wenn es ein Stück weit konstant wäre, und

da wäre dann f ' (x) = 0

zu deiner anderen Frage.

Manchmal sieht man auch ohne aufzulösen, dass f ' (x) > 0  ist

etwa wenn f `(x) =   x^2 + 5 ist, das ist immer positiv

oder sowas wie f ' (x ) = e ^3x+5  

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"bei f '(x) ist es streng monoton.

Nicht "streng" wäre es ja nur, wenn es ein Stück weit konstant wäre, und

da wäre dann f ' (x) = 0"

Aber hier in diesem Fall ist doch f'(x) = 0 ? Weil wir doch nach x aufgelöst haben. Mir wird der Unterschied nicht ganz deutlich..