Hier ihr geht das tendenziell vböllig falsch an. Ihr macht euch nur selber das Leben schwer; Als Erstes immer die Nullstelle:
t0 = exp ( - a ) ( 1 )
Halt stop; Ableiten is noch lange nich. Wir müssen uns nämlich erst mal einen Überblick verschaffen über diesen Slalom.Ganz wichtig; die Asymptotik. Für t ===> ( + 0 ) geht die Funktion gegen Minus Unendlich, obgleich wir im strengen Sinne eigentlich keine Polstelle haben. Und was passiert für x ===> ( °° ) ? Dann ist der Term a / t ² sicher vernachlässigbar. Substituiere
z := ln ( t ) ===> ( °° ) ( 2a )
t = exp ( z ) ( 2b )
ln ( t ) / t ² = z exp ( - 2 z ) ===> 0 ( 2c )
Und zwar begründe ich ( 2c ) damit, dass die e-Funktion jedes Polynom unterdrückt. Damit steht aber fest
0 < t0 < t ( max ) < t ( w ) ( 3 )
So; jetzt sieht das schon mal nach was aus.
Die Quotientenregel ( QR ) ist ABSOLUT TÖDLICH .
Ihr müsst sie MEIDEN WIE DIE PEST .
Ich hypnotisiere dich jetzt; wenn ich bis Zehn zähle, kannst du dich an das Wort QR nicht mehr erinnern.
Aktion Bremer Stadtmathematiker: " Etwas Besseres als die QR werden wir überall finden. "
Häufig ruft sie psychotische Zustände hervor und verwirrt die Zusammenhänge, statt sie zu erhellen. Z.B. ist sie ungeeignet, etwas über den speziellen Typ einer Kurve in Erfahrung zu bringen; wenn Matematik so etwas wie geistige Klarheit anstrebt, reißt dich die QR weit eher in Morast und Dornengestrüpp. Ihr wesentlicher Nachteil kst die falsche Asymptotik; so hat z.B. die Ableitung eines Pols der Ordnung 4 711 einen Pol der Ordnung 4 712 . Dagegen der Nenner v ² der QR täuscht einen Pol der Ordnung 2 * 4 711 = 9 422 vor.
Als Erstes schaffen wir hier nämlich den Nenner weg und wenden die Metode des ===> impliziten Differenzierens an; genau so machen das nämlich gebildete Leute.
t ² y = a + ln ( t ) ( 4a )
Jetzt Produktregel
2 t y + t ² y ' = 1 / t ( 4b )
Implizit heißt diese Technik, weil nirgends nach y aufgelöst wird; in ( 4b ) wird sang-und klanglos gesetzt y ' = 0
2 t ³ y = 1 ( 4c )
Hier das ist doch Mega elegant; was sich hier anbietet, ist das Gleichsetzungsverfahren ( 4a;c )
a + ln ( t ) = 1/2 ===> t ( max ) = t0 sqr ( e ) ( 5 )
( vgl. ( 1 ) , wir haben hier strenge Proportionalität zwischen Nullstelle und Maximum. )
An sich bin ich ja fertig; ich möchte dir nur vorführen, wie normale Menschen die 2. Ableitung nachprüfen würden. Es gibt nämlich die sog. Leibnizregel, siehe Courant Band 2 , eine verallgemeinerte Produktregel, die uns sogar noch ermöglichen würde, die 4 711. Ableitung von ( 4a ) zu notieren. Die QR hat da bis Heute nichts Vergleichbares zu bieten. Diese Technik ist ganz analog den ===> Binominalkoeffizienten des binomischen Lehrsatzes. Für 2. Ableitung wäre das
( u v ) " = u " v + 2 u ' v ' + u v " ( 6a )
In ( 4a ) wäre das
2 y + 4 t y ' + t ² y " = - 1 / t ² ( 6b )
2 f ( max ) + t ² ( max ) f " ( max ) = - 1 / t ² ( max ) ( 6c )
Der zweite Term in ( 6b ) leistet ja keinen Beitrag für ( 6c ) wegen Extremum. Aber in ( 6c ) sehen wir bereits alles, was wir wissen müssen. Da wir sicher sind, dass f ( max ) positiv, folgt aus ( 6c ) , dass die 2. Ableitung negativ sein muss.
